体論・ガロア理論の問題

$a=\sqrt[3]{2}$ とおくと $a^3=2$ で、$\alpha =a+a^2$ である。

$\alpha$ が満たす 3 次式.
$${\alpha }^3=(a+a^2{)}^3=a^3+3a^4+3a^5+a^6.$$
ここで $a^3=2$, $a^4=2a$, $a^5=2a^2$, $a^6=4$ だから
$${\alpha }^3=2+6a+6a^2+4=6+6(a+a^2)=6+6\alpha .$$
よって $\alpha$ は $g(x)=x^3-6x-6$ の根である。

既約性. $g(x)$ の $x^3$ 以外の係数 $-6,-6$ はすべて素数 $2$ で割り切れ、定数項 $-6$ は $2^2=4$ で割り切れない。アイゼンシュタインの判定法により $g(x)$ は $\mathbb{Q}$ 上既約である。

（別の見方）$\alpha \in \mathbb{Q}(a)$ で $[\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}]=3$ だから $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]$ は $1$ か $3$ である。$1,a,a^2$ は $\mathbb{Q}$ 上 1 次独立なので $\alpha =a+a^2\notin \mathbb{Q}$ であり、次数は $3$ となる。これからも $3$ 次のモニック多項式 $g$ が最小多項式であることがわかる。

したがって $\alpha$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式は
$$x^3-6x-6.$$

$c=\sqrt[3]{2}$ とおくと $c^3=2$、$\alpha =c+c^2$。${\alpha }^2=c^2+2c^3+c^4=c^2+4+2c$（$c^4=2c$）。${\alpha }^3=\alpha \cdot {\alpha }^2=(c+c^2)(c^2+2c+4)=c^3+2c^2+4c+c^4+2c^3+4c^2=2+2c^2+4c+2c+4+4c^2=6+6c+6c^2=6+6\alpha$。よって $\alpha$ は $x^3-6x-6$ の根。この多項式は素数 $2$ に関してアイゼンシュタインの既約判定法の条件（係数 $-6,-6$ が $2$ の倍数、定数項 $-6$ が $4$ で割り切れない、最高次係数 $1$ が $2$ で割り切れない）を満たすので $\mathbb{Q}$ 上既約。モニックなので最小多項式は $x^3-6x-6$。\n\n検算: $c\approx 1.259921$, $c^2\approx 1.587401$, $\alpha \approx 2.847322$。${\alpha }^3\approx 23.0839$, $6\alpha +6\approx 23.0839$。一致する。