体論・ガロア理論の問題

$g(x)=x^3-3x+1$ とおく。

$g$ の既約性. $g$ が $\mathbb{Q}$ 上可約なら $1$ 次因子、すなわち有理根をもつ。有理根の候補は $\pm 1$ だが、$g(1)=-1$, $g(-1)=3$ なので有理根はない。よって $g$ は既約であり、$\alpha$ の最小多項式で $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=3$ である。

$\beta$ が $g$ の根であること. ${\alpha }^3=3\alpha -1$ を用いて $\beta$ のべきを $1,\alpha ,{\alpha }^2$ の一次結合で表す。まず
$${\alpha }^4=\alpha \cdot {\alpha }^3=3{\alpha }^2-\alpha$$
である。
$${\beta }^2=({\alpha }^2-2{)}^2={\alpha }^4-4{\alpha }^2+4=(3{\alpha }^2-\alpha )-4{\alpha }^2+4=-{\alpha }^2-\alpha +4,$$
$$\begin{array}{rl}{\beta }^3& =({\alpha }^2-2)(-{\alpha }^2-\alpha +4)\\ & =-{\alpha }^4-{\alpha }^3+4{\alpha }^2+2{\alpha }^2+2\alpha -8\\ & =-(3{\alpha }^2-\alpha )-(3\alpha -1)+6{\alpha }^2+2\alpha -8\\ & =3{\alpha }^2-7.\end{array}$$
したがって
$${\beta }^3-3\beta +1=(3{\alpha }^2-7)-3({\alpha }^2-2)+1=0$$
となり、$g(\beta )=0$ である。

最小多項式の決定. $\beta$ の最小多項式は $g$ を割り切るが、$g$ は既約でモニックなので、$\beta$ の最小多項式は $g$ そのものである（$\beta$ が有理数でないことも、$g$ が有理根をもたないことから従う）。

よって求める最小多項式は
$$x^3-3x+1$$
である。

（別解の見方: $x=2\cos \theta$ とおくと $x^3-3x=2\cos 3\theta$ なので、$g$ の根は $2\cos \frac{2\pi }{9},2\cos \frac{4\pi }{9},2\cos \frac{8\pi }{9}$ である。$\alpha =2\cos \theta$ のとき ${\alpha }^2-2=2\cos 2\theta$ であり、$\theta \mapsto 2\theta$ によってこの $3$ つの根は互いに移り合う。つまり $\beta$ は $g$ の別の根であり、$\mathbb{Q}(\alpha )/\mathbb{Q}$ が巡回拡大であることを示している。）

$g(x)=x^3-3x+1$ は有理根（$\pm 1$）をもたないので $\mathbb{Q}$ 上既約。$\alpha$ の最小多項式は $g$ で、$\beta ={\alpha }^2-2\in \mathbb{Q}(\alpha )$ の最小多項式は 1 次または 3 次である。\n\n${\alpha }^3=3\alpha -1$ を使って、$\beta$ が $g$ の根であることを直接示す。$\beta ={\alpha }^2-2$ に対し\n${\beta }^3-3\beta +1=({\alpha }^2-2{)}^3-3({\alpha }^2-2)+1={\alpha }^6-6{\alpha }^4+12{\alpha }^2-8-3{\alpha }^2+6+1={\alpha }^6-6{\alpha }^4+9{\alpha }^2-1$。\n${\alpha }^3=3\alpha -1$ より ${\alpha }^6=9{\alpha }^2-6\alpha +1$、${\alpha }^4=\alpha \cdot {\alpha }^3=3{\alpha }^2-\alpha$。代入して\n$(9{\alpha }^2-6\alpha +1)-6(3{\alpha }^2-\alpha )+9{\alpha }^2-1=(9-18+9){\alpha }^2+(-6+6)\alpha +(1-1)=0$。\n\nよって $\beta$ は $g$ の根。$g$ は既約なモニック 3 次式なので $\beta$ の最小多項式は $x^3-3x+1$。\n\n検算: $\alpha =2\cos \frac{2\pi }{9}$ とすると ${\alpha }^2-2=2\cos \frac{4\pi }{9}$ で、これは $g$ の別の根（$g$ の根は $2\cos \frac{2\pi }{9},2\cos \frac{4\pi }{9},2\cos \frac{8\pi }{9}$）。