円分体のガロア群と部分体

$\zeta =e^{2\pi i/21}\in \mathbb{C}$ とし、$L=\mathbb{Q}(\zeta )$ とおく。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす部分体 $K$ のうち、$[K:\mathbb{Q}]=2$ となるものの個数を求めよ。

$\zeta =e^{2\pi i/16}$ とし、$L=\mathbb{Q}(\zeta )$ とおく。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ の個数を求めよ（$K=\mathbb{Q}$ および $K=L$ も数に含める）。

$\zeta =e^{2\pi i/60}\in \mathbb{C}$ とし、$L=\mathbb{Q}(\zeta )$ とおく。$d$ は $1$ でない平方因子をもたない整数とする。すなわち、$d\ne 1$ であり、どの素数 $p$ についても $p^2\nmid d$ である（$d$ は負でもよい）。$d<0$ のときは $\sqrt{d}=i\sqrt{-d}$ と定める。$\sqrt{d}\in L$ となるような $d$ をすべて求め、その集合を答えよ。

$\zeta =e^{2\pi i/35}$ とし、$L=\mathbb{Q}(\zeta )$ とおく。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ の個数を求めよ（$K=\mathbb{Q}$ と $K=L$ も含める）。

$\zeta =e^{2\pi i/5}$ とし、$\sqrt{5}$ は $5$ の正の平方根を表すとする。$$\alpha =\zeta +\sqrt{5}\in \mathbb{C}$$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式（モニック）を、変数 $x$ の多項式として求めよ。

$\zeta =e^{2\pi i/9}\in \mathbb{C}$ とし、$\sqrt[3]{2}$ は $2$ の正の実数の $3$ 乗根を表すとする。$$\alpha =\sqrt[3]{2}+\zeta$$ とおく。$\alpha$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式の次数 $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]$ を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。整数係数の 2 変数多項式環の剰余環
$$A=\mathbb{Z}[x,y]/(x^2+1,y^3-x)$$
を考える。$A$ の素イデアル $P$ のうち、剰余環 $A/P$ が有限集合であり、かつその元の個数が $50$ 以下であるものの個数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の 2 変数多項式環の剰余環
$$A=\mathbb{Q}[x,y]/(x^{12}-1,y^2-3)$$
を考える。$A$ の素イデアルの個数を求めよ。

$\zeta =e^{2\pi i/105}$ とし、$K=\mathbb{Q}(\zeta +{\zeta }^{-1})$（$\mathbb{Q}(\zeta )$ の最大実部分体）、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。$K/\mathbb{Q}$ はガロア拡大なので、$3{\mathcal{O}}_K$ の素イデアル分解は
$$3{\mathcal{O}}_K=({\mathfrak{p}}_1\cdots {\mathfrak{p}}_g{)}^e,\#({\mathcal{O}}_K/{\mathfrak{p}}_i)=3^f(i=1,\dots ,g)$$
の形に書ける（${\mathfrak{p}}_1,\dots ,{\mathfrak{p}}_g$ は相異なる素イデアル）。分岐指数 $e$、剰余次数 $f$、素イデアルの個数 $g$ をこの順に組 $(e,f,g)$ で答えよ。