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円分体とその部分体での素数の分解

$p\nmid m$ のとき $\mathbb{Q}({\zeta }_m)$ で $f={\mathrm{ord}}_m(p)$、$g=\phi (m)/f$、$e=1$ となり、$m=p^k{m}^{\prime }$ なら $e=\phi (p^k)$、$f={\mathrm{ord}}_{m^{\prime }}(p)$ となることを使って $(e,f,g)$ を求められる。部分体 $K$（対応する部分群 $H$）では分解群・惰性群の像を $G/H$ で考えて $(e,f,g)$ を求められる（例: $\mathbb{Q}({\zeta }_7)$ で $2$ は $(e,f,g)=(1,3,2)$、最大実部分体 $\mathbb{Q}({\zeta }_7+{\zeta }_7^{-1})$ では $2$ は惰性で $(1,3,1)$）

前提

• ガロア拡大での素数の分解（efg=n とフロベニウス） （大学院数学 代数的整数論）
• 円分体のガロア群と部分体 （大学院数学 体論・ガロア理論）
• 法 n を法とする位数 （大学数学 整数論）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. $m=p^k{m}^{\prime }$（$p\nmid m^{\prime }$、$k\ge 0$）と分け、$G=(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }$、$|G|=\phi (m)$ を確認する

2. $f={\mathrm{ord}}_{m^{\prime }}(p)$ を $\phi (m^{\prime })$ の約数だけ調べて求める（$k=0$ なら $m^{\prime }=m$）

3. $L=\mathbb{Q}({\zeta }_m)$ での値を $e=\phi (p^k),f={\mathrm{ord}}_{m^{\prime }}(p),g=\phi (m)/(ef)$ で求める

4. 部分体 $K$ なら対応する部分群 $H$ を決め、分解群 $D$ と惰性群 $I$ を書く。$p\nmid m$ なら $D=⟨p⟩,I=\{1\}$。$p\mid m$ なら $I=\{a\in G:a\equiv 1(\mathrm{mod}{m}^{\prime })\}$、$D$ は $I$ と「$\mathrm{mod}{m}^{\prime }$ で $p$ に合同な元」で生成される

5. $e_K=|IH/H|,f_K=|DH/H|/e_K,g_K=[G:DH]$ を計算し、$e_K{f}_K{g}_K=[K:\mathbb{Q}]=|G/H|$ で検算する

例題

よくある誤り

• $p\mid m$ のときも $f={\mathrm{ord}}_m(p)$ を計算しようとする誤り（$p$ は法 $m$ で単元でないので位数がない）。例えば $\mathbb{Q}({\zeta }_{12})$ で $p=2$ なら $12=2^2\cdot 3$ で、正しくは $e=\phi (4)=2,f={\mathrm{ord}}_3(2)=2,g=4/(2\cdot 2)=1$

• 部分体でも $L$ での剰余次数をそのまま使ってしまう誤り。例えば $\mathbb{Q}({\zeta }_{13})$ の $4$ 次の部分体（$H=\{1,3,9\}$）で $3$ の剰余次数を ${\mathrm{ord}}_{13}(3)=3$ とする（$3\nmid 4$ なのでありえない）。正しくは $3\in H$ なので $f_K=1$、$g_K=4$ で、$3$ は $K$ で完全分解する

• 分岐する場合に $g=\phi (m)/f$ としてしまい $e$ を忘れる誤り。例えば $\mathbb{Q}({\zeta }_{15})$ で $p=3$ のとき $e=\phi (3)=2,f={\mathrm{ord}}_5(3)=4$ で、$g=8/4=2$ ではなく、正しくは $g=8/(2\cdot 4)=1$

• 部分体で $f_K$ を「$G/H$ での $p$ の位数」だけで決め、$p\mid m$ のとき惰性群の像を忘れる誤り。正しくは $e_K=|IH/H|$ を先に求め、$f_K=|DH/H|/e_K$ とする

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（大学院の講義の例題レベル）

  ${\zeta }_{13}=\cos \frac{2\pi }{13}+i\sin \frac{2\pi }{13}$ とし、$L=\mathbb{Q}({\zeta }_{13})$ とする。$L$ の整数環で素数 $3$ が $3{\mathcal{O}}_L=({\mathfrak{p}}_1\cdots {\mathfrak{p}}_g{)}^e$（${\mathfrak{p}}_j$ は相異なる素イデアルで、剰余次数はすべて $f$）と分解するとき、組 $(e,f,g)$ をこの順に求めよ。

この技能を使う問題

• 難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）

  ${\zeta }_{20}=e^{2\pi i/20}$ とし、$K=\mathbb{Q}({\zeta }_{20})$、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。${\mathcal{O}}_K$ の $0$ でない素イデアル $\mathfrak{p}$ に対し、そのノルムを $N(\mathfrak{p})=\#({\mathcal{O}}_K/\mathfrak{p})$ と定める。$N(\mathfrak{p})\le 100$ をみたす ${\mathcal{O}}_K$ の $0$ でない素イデアル $\mathfrak{p}$ の個数を求めよ。

• 難易度 4（大学院入試の難問レベル）

  $\zeta =e^{2\pi i/105}$ とし、$K=\mathbb{Q}(\zeta +{\zeta }^{-1})$（$\mathbb{Q}(\zeta )$ の最大実部分体）、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。$K/\mathbb{Q}$ はガロア拡大なので、$3{\mathcal{O}}_K$ の素イデアル分解は
  $$3{\mathcal{O}}_K=({\mathfrak{p}}_1\cdots {\mathfrak{p}}_g{)}^e,\#({\mathcal{O}}_K/{\mathfrak{p}}_i)=3^f(i=1,\dots ,g)$$
  の形に書ける（${\mathfrak{p}}_1,\dots ,{\mathfrak{p}}_g$ は相異なる素イデアル）。分岐指数 $e$、剰余次数 $f$、素イデアルの個数 $g$ をこの順に組 $(e,f,g)$ で答えよ。