代数的整数論の問題

ステップ 1: 拡大次数. $13$ は素数なので $[L:\mathbb{Q}]=\phi (13)=12$ であり、$\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}{)}^{\times }$ である。

ステップ 2: 分岐するか. $3\nmid 13$ なので、$3$ は $\mathbb{Q}({\zeta }_{13})$ で不分岐であり $e=1$。

ステップ 3: 剰余次数 $f$. $p\nmid m$ のとき $f={\mathrm{ord}}_m(p)$ である（$3$ のフロベニウスは ${\sigma }_3:{\zeta }_{13}\mapsto {\zeta }_{13}^3$ で、その位数が $f$）。${\mathrm{ord}}_{13}(3)$ は $\phi (13)=12$ の約数を順に調べればよい。
$$3^1=3,3^2=9,3^3=27=2\cdot 13+1\equiv 1(\mathrm{mod}13).$$
よって ${\mathrm{ord}}_{13}(3)=3$、すなわち $f=3$。

ステップ 4: 素イデアルの個数 $g$. $efg=12$ より
$$g=\frac{\phi (13)}{f}=\frac{12}{3}=4.$$

以上より $(e,f,g)=(1,3,4)$ である（確認: $efg=1\cdot 3\cdot 4=12=[L:\mathbb{Q}]$）。

$L=\mathbb{Q}({\zeta }_{13})$ は次数 $\phi (13)=12$ の円分体で、$13$ のみが分岐する。$3\nmid 13$ なので $3$ は不分岐で $e=1$。剰余次数 $f$ は $3$ の $(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}{)}^{\times }$ における位数に等しい（${\mathrm{Frob}}_3:\zeta \mapsto {\zeta }^3$）。$3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27=2\cdot 13+1\equiv 1(\mathrm{mod}13)$ より位数は $3$、すなわち $f=3$。$efg=12$ より $g=12/(1\cdot 3)=4$。\n\n検算: 円分多項式 ${\Phi }_{13}(x)$ は ${\mathbb{F}}_3$ 上で、$x^{13}-1$ の根は ${\mathbb{F}}_{3^3}$ に属する（$13\mid 3^3-1=26$）ので、既約因子の次数はすべて $3$ で、$12/3=4$ 個の因子に分かれる。\n\n答え: $(e,f,g)=(1,3,4)$。