法 n を法とする位数

$23$ と互いに素な整数 $a$ に対し、$a^k\equiv 1(\mathrm{mod}23)$ をみたす最小の正の整数 $k$ を、法 $23$ における $a$ の位数といい、${\mathrm{ord}}_{23}(a)$ と書く。${\mathrm{ord}}_{23}(2)$ を求めよ。

$29$ は素数である。$5^k\equiv 1(\mathrm{mod}29)$ をみたす最小の正の整数 $k$（法 $29$ における $5$ の位数 ${\mathrm{ord}}_{29}(5)$）を求めよ。

$41$ と互いに素な整数 $a$ に対し、$a^k\equiv 1(\mathrm{mod}41)$ をみたす最小の正の整数 $k$ を、$41$ を法とする $a$ の位数といい、${\mathrm{ord}}_{41}(a)$ と書く。${\mathrm{ord}}_{41}(3)$ を求めよ。

$91$ と互いに素な整数 $a$ に対し、$a^k\equiv 1(\mathrm{mod}91)$ をみたす最小の正の整数 $k$ を、法 $91$ における $a$ の位数という。$1\leqq a\leqq 90$ をみたす整数 $a$ のうち、$91$ と互いに素で、法 $91$ における位数が $12$ であるものの個数を求めよ。

${\zeta }_{20}=e^{2\pi i/20}$ とし、$K=\mathbb{Q}({\zeta }_{20})$、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。${\mathcal{O}}_K$ の $0$ でない素イデアル $\mathfrak{p}$ に対し、そのノルムを $N(\mathfrak{p})=\#({\mathcal{O}}_K/\mathfrak{p})$ と定める。$N(\mathfrak{p})\le 100$ をみたす ${\mathcal{O}}_K$ の $0$ でない素イデアル $\mathfrak{p}$ の個数を求めよ。

$2024=2^3\cdot 11\cdot 23$ とする。$\gcd (a,2024)=1$ をみたす整数 $a$ に対し、$a^k\equiv 1(\mathrm{mod}2024)$ をみたす最小の正の整数 $k$ を、法 $2024$ における $a$ の位数という。

$\gcd (a,2024)=1$ をみたすすべての整数 $a$ について $a^L\equiv 1(\mathrm{mod}2024)$ が成り立つような最小の正の整数を $L$ とする。また、$1\leqq a\leqq 2023$ かつ $\gcd (a,2024)=1$ をみたす整数 $a$ のうち、法 $2024$ における位数がちょうど $L$ であるものの個数を $N$ とする。

組 $(L,N)$ を求めよ。

正の整数 $n$ のうち、合同式
$$2^n\equiv n(\mathrm{mod}35)$$
をみたし、かつ $1\leqq n\leqq 420$ であるものすべての和を求めよ。

$\alpha =\sqrt[3]{2}$ を実数の立方根とし、$K=\mathbb{Q}(\alpha )$、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。次の事実は証明なしに用いてよい。

• ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\alpha ]$ である。
• $\epsilon =1+\alpha +{\alpha }^2$ は $K$ の基本単数であり、${\mathcal{O}}_K^{\times }=\{\pm 1\}\times ⟨\epsilon ⟩$ である。

環 $R=\mathbb{Z}+35{\mathcal{O}}_K$（${\mathcal{O}}_K$ の導手 $35$ の整環）の単数群を $R^{\times }$ とする。指数 $[{\mathcal{O}}_K^{\times }:R^{\times }]$ を求めよ。

$1001=7\cdot 11\cdot 13$ とする。$1$ 以上 $1000$ 以下の整数 $a$ で $\gcd (a,1001)=1$ を満たすもののうち、$1001$ を法とする位数がちょうど $12$ であるもの（すなわち $a^{12}\equiv 1(\mathrm{mod}1001)$ かつ $1\le k<12$ なる整数 $k$ に対して $a^k\not\equiv 1(\mathrm{mod}1001)$）の個数を求めよ。

$N=12096=2^6\cdot 3^3\cdot 7$ とする。$N$ と互いに素な整数 $a$ に対し、$a^k\equiv 1(\mathrm{mod}N)$ をみたす最小の正の整数 $k$ を法 $N$ における $a$ の位数という。$N$ と互いに素な整数の法 $N$ における位数としてとりうる値のうち最大のものを $L$ とする。$1\leqq a\leqq N-1$ をみたし $N$ と互いに素な整数 $a$ のうち、法 $N$ における位数がちょうど $L$ であるものの個数を求めよ。

$\zeta =e^{2\pi i/105}$ とし、$K=\mathbb{Q}(\zeta +{\zeta }^{-1})$（$\mathbb{Q}(\zeta )$ の最大実部分体）、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。$K/\mathbb{Q}$ はガロア拡大なので、$3{\mathcal{O}}_K$ の素イデアル分解は
$$3{\mathcal{O}}_K=({\mathfrak{p}}_1\cdots {\mathfrak{p}}_g{)}^e,\#({\mathcal{O}}_K/{\mathfrak{p}}_i)=3^f(i=1,\dots ,g)$$
の形に書ける（${\mathfrak{p}}_1,\dots ,{\mathfrak{p}}_g$ は相異なる素イデアル）。分岐指数 $e$、剰余次数 $f$、素イデアルの個数 $g$ をこの順に組 $(e,f,g)$ で答えよ。

$p$ を奇素数とし、$d$ を $p-1$ の正の約数とする。$p$ と互いに素な整数 $a$ について、$a^t\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ を満たす最小の正の整数 $t$ を $a$ の $p$ を法とする位数といい、位数が $p-1$ である $a$ を $p$ を法とする原始根という。

$1\le a\le p-1$ を満たす整数 $a$ のうち $a^d\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ を満たすもの全体の積を $Q_d$ とする。このとき
$$Q_d\equiv (-1{)}^{d+1}(\mathrm{mod}p)$$
であることを証明せよ。

ただし、$p$ を法とする原始根が存在すること、および「$a$ の位数を $e$ とするとき、正の整数 $t$ について $a^t\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ となるのは $e\mid t$ のときであり、かつそのときに限る」ことは用いてよい。