代数的整数論の問題

$[K:\mathbb{Q}]=\phi (20)=8$ であり、${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[{\zeta }_{20}]$ である。$0$ でない素イデアル $\mathfrak{p}$ はただ 1 つの素数 $p$ の上にあり、$N(\mathfrak{p})=p^f$（$f$ は惰性次数）。素数 $p$ の分解を $p{\mathcal{O}}_K=({\mathfrak{p}}_1\cdots {\mathfrak{p}}_g{)}^e$、$efg=8$ と書く。

円分体における素数の分解の規則：$n=p^{a}m$（$p\nmid m$）とすると、$\mathbb{Q}({\zeta }_n)$ において $e=\phi (p^a)$、$f$ は $p$ の $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }$ における位数、$g=\phi (m)/f$ である。

分岐する素数 $p=2,5$.
- $p=2$：$20=4\cdot 5$ より $e=\phi (4)=2$。$2$ の $\mathrm{mod}5$ での位数は $2,4,3,1$ より $4$ なので $f=4$、$g=4/4=1$。素イデアルは $1$ 個でノルム $2^4=16\le 100$。$\Rightarrow 1$ 個。
- $p=5$：$20=5\cdot 4$ より $e=\phi (5)=4$。$5\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ なので $f=1$、$g=2/1=2$。ノルム $5\le 100$ の素イデアルが $2$ 個。$\Rightarrow 2$ 個。

分岐しない素数 $p\ne 2,5$. $e=1$、$f$ は $p$ の $(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}{)}^{\times }$ での位数、$g=8/f$。$(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}{)}^{\times }=\{1,3,7,9,11,13,17,19\}$ の各元の位数は
- 位数 $1$：$1$
- 位数 $2$：$9,11,19$（$81\equiv 1$, $121\equiv 1$, $361\equiv 1$）
- 位数 $4$：$3,7,13,17$（例：$3\to 9\to 7\to 1$）

$p^f\le 100$ となる場合を調べる。
- $f=1$（$p\equiv 1(\mathrm{mod}20)$, $p\le 100$）：$p=41,61$（$21,81$ は素数でない）。各 $g=8$ 個で、計 $16$ 個。
- $f=2$（$p\equiv 9,11,19(\mathrm{mod}20)$, $p^2\le 100$ すなわち $p\le 10$）：該当する素数はない（最小は $11$）。
- $f=4$（$p\equiv 3,7,13,17(\mathrm{mod}20)$, $p^4\le 100$）：$p=3$ のみ（$3^4=81$、$7^4=2401$）。$g=8/4=2$ 個。

合計. $1+2+16+0+2=21$。

よって求める個数は $21$。

$K=\mathbb{Q}({\zeta }_{20})$ は次数 $\phi (20)=8$ のアーベル拡大。素数 $p$ の分解は次の通り。

• $p\nmid 20$ のとき、$p$ は不分岐で、剰余次数 $f$ は $p$ の $(\mathbb{Z}/20{)}^{\times }$ での位数、素イデアルは $g=8/f$ 個、各ノルムは $p^f$。
• $p=2$: $20=2^2\cdot 5$ より $e=\phi (4)=2$、$f=($2 の mod 5 での位数$)=4$、$g=1$。ノルム $2^4=16\le 100$ の素イデアルが 1 個。
• $p=5$: $e=\phi (5)=4$、$f=($5 の mod 4 での位数$)=1$、$g=2$。ノルム $5$ の素イデアルが 2 個。$efg=4\cdot 1\cdot 2=8$ で整合。

$p\nmid 20$ の場合、$(\mathbb{Z}/20{)}^{\times }=\{1,3,7,9,11,13,17,19\}$ での位数は、$1$ が 1、$9,11,19$ が 2 ($9^2=81\equiv 1$, $11^2=121\equiv 1$, $19^2=361\equiv 1$)、$3,7,13,17$ が 4 ($3^2\equiv 9$, $7^2=49\equiv 9$, $13^2=169\equiv 9$, $17^2=289\equiv 9$、いずれも 4 乗で 1)。

• $f=1$ ($p\equiv 1\mathrm{mod}20$): $p\le 100$ の素数は $41,61$ ($101>100$)。各 $g=8$ で $2\times 8=16$ 個。
• $f=2$ ($p\equiv 9,11,19\mathrm{mod}20$): $p^2\le 100$ より $p\le 10$、該当する素数 (9, 11, 19 に合同) はなく 0 個。
• $f=4$ ($p\equiv 3,7,13,17\mathrm{mod}20$): $p^4\le 100$ より $p\le 3$。$p=3$ のとき $3^4=81\le 100$、$g=2$ で 2 個 ($p=7$ は $7^4=2401>100$)。

合計: $1+2+16+0+2=21$。

検算: $p=41,61$ を除く $100$ 以下のノルムを持つ素数候補は上で尽くされている ($f=2$ で $p^2\le 100$ となる素数 $2,3,5,7$ はそれぞれ分岐または $f=4$)。よって 21。