代数的整数論の問題

整数環. $x^3+ax+b$ の判別式は $-4a^3-27b^2$ なので、$x^3-x-1$ の判別式は $-4(-1{)}^3-27\cdot 1=4-27=-23$。これは平方因子をもたないので ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\alpha ]$、$D_K=-23$ であり、すべての素数 $p$ について Dedekind の定理により $p{\mathcal{O}}_K$ の分解は $f(x)=x^3-x-1\mathrm{mod}p$ の分解から読み取れる。

ノルムが $30$ 以下の素イデアルは、$p\le 30$ の素数の上にあり剰余次数 $f_{\mathfrak{p}}$ が $p^{f_{\mathfrak{p}}}\le 30$ をみたすものである。

• $p=2$: $f\equiv x^3+x+1$ は ${\mathbb{F}}_2$ に根をもたず既約。ノルム $8$ の素イデアル $1$ 個。
• $p=3$: $f(0)=-1,f(1)=-1,f(2)=5\equiv 2$ で根なし、既約。ノルム $27$ の素イデアル $1$ 個。
• $p=5$: $f(2)=5\equiv 0$。$f(0),f(1),f(3),f(4)\equiv 4,4,3,4$ で根は $2$ のみなので、（1 次）$\times$（既約 2 次）。ノルム $5$ と $25$ の $2$ 個。
• $p=7$: 根は $x=5$（$f(5)=119=7\cdot 17$）のみ。ノルム $7$ と $49$。$30$ 以下は $1$ 個。
• $p=11$: 根は $x=6$（$f(6)=209=11\cdot 19$）のみ。ノルム $11$ と $121$。$1$ 個。
• $p=13$: $f(0),\dots ,f(12)\equiv 12,12,5,10,7,2,1,10,9,4,1,6,12$ で根なし、既約（惰性）。ノルム $13^3$。$0$ 個。
• $p=17$: $f(5)=119=7\cdot 17$ で根 $5$。$f(x)\equiv (x-5)(x^2+5x+7)$ で、$x^2+5x+7$ の判別式 $25-28=-3\equiv 14$ は $\mathrm{mod}17$ の非平方剰余なので既約。ノルム $17$ の $1$ 個。
• $p=19$: $f(6)=209=11\cdot 19$ で根 $6$。$f(x)\equiv (x-6)(x^2+6x+16)$ で、判別式 $36-64=-28\equiv 10$ は $\mathrm{mod}19$ の非平方剰余なので既約。ノルム $19$ の $1$ 個。
• $p=23$: 分岐する。$f(x)\equiv (x-10{)}^2(x-3)(\mathrm{mod}23)$（展開すると $x^3-23x^2+\cdots$ で、$2\cdot 10+3=23\equiv 0$, $10^2+2\cdot 10\cdot 3=160\equiv -1$, $10^2\cdot 3=300\equiv 1$ を確かめられる）。$23{\mathcal{O}}_K={\mathfrak{p}}_1^2{\mathfrak{p}}_2$ でノルム $23$ の素イデアル $2$ 個。
• $p=29$: ${\mathbb{F}}_{29}$ に根をもたず既約（惰性）。$0$ 個。

（検算：$K$ のガロア閉包は $\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$ の Hilbert 類体である。$\left(\frac{-23}{p}\right)=-1$ の $p=5,7,11,17,19$ は（1 次）$\times$（2 次）型、$\left(\frac{-23}{p}\right)=1$ の $p=2,3,13,29$ はいずれも $2x^2+xy+3y^2$ で表される（$2=2\cdot 1^2$, $3=3\cdot 1^2$, $13=2\cdot 2^2+2\cdot 1+3$, $29=2\cdot (-2{)}^2+(-2)\cdot 3+3\cdot 3^2$）ので惰性、となり上の計算と一致する。）

合計は $1+1+2+1+1+0+1+1+2+0=10$。

$f(x)=x^3-x-1$ の判別式は $-4(-1{)}^3-27(-1{)}^2=4-27=-23$ で平方因子をもたないので ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\alpha ]$。よって各素数 $p$ について、$f\mathrm{mod}p$ の既約分解からデデキントの定理で素イデアルの分解が分かる。ノルムが $30$ 以下の素イデアルは、$p\le 29$ の素数に対し $p^f\le 30$ のものである。

• $p=2$: $x^3+x+1$ は ${\mathbb{F}}_2$ に根なしで既約。惰性、ノルム $8$ の素イデアル 1 個。
• $p=3$: $x=0,1,2$ で $f\equiv 2,2,2$ より根なし、既約。ノルム $27$ の素イデアル 1 個。
• $p=5$: $f(2)=5\equiv 0$。$f\equiv (x-2)(x^2+2x+3)$、二次式の判別式 $-8\equiv 2$ は非平方なので既約。ノルム $5$ と $25$ の素イデアル各 1 個で計 2 個。
• $p=7$: $f(5)=119\equiv 0$。$f\equiv (x-5)(x^2+5x+3)$、判別式 $13\equiv 6$ は非平方。ノルム $7$ と $49$。$49>30$ なので 1 個。
• $p=11$: 根は $x=6$ のみ（$f(6)=209$）。型は (1,2)。ノルム $11$ と $121$ なので 1 個。
• $p=13$: $-23\equiv 3$ は平方だが根なし（$x=0,\dots ,12$ で確認）。既約でノルム $13^3$。0 個。
• $p=17$: $-23\equiv 11$ は非平方 なので型 (1,2)。ノルム $17$ の素イデアル 1 個。
• $p=19$: $-23\equiv 15$ は非平方なので型 (1,2)。ノルム $19$ が 1 個。
• $p=23$: 分岐。$f\equiv (x-10{)}^2(x-3)$ なので $23={\mathfrak{p}}_1^2{\mathfrak{p}}_2$ で、ノルム $23$ の素イデアルが 2 個。
• $p=29$: $-23\equiv 6$ は平方なので根が 3 個か 0 個。$x^3-x=\pm 1$ となる $x$ を調べると解なし（$x^3-x$ の値は $0,6,24,2,4,7,17,11,24,4,15,5,9,4$）。既約でノルム $29^3$。0 個。

合計: $1+1+2+1+1+0+1+1+2+0=10$。