代数的整数論の問題

1. 整数環の決定. $x^3-10$ は $5$ に関するアイゼンシュタイン多項式なので既約で、$[K:\mathbb{Q}]=3$。$\mathrm{disc}(x^3-10)=-27\cdot 10^2=-2700=-2^2\cdot 3^3\cdot 5^2$。

$10\equiv 1(\mathrm{mod}9)$ に注目して $\omega =\frac{1+\alpha +{\alpha }^2}{3}$ とおく。$\omega =\frac{{\alpha }^3-1}{3(\alpha -1)}=\frac{3}{\alpha -1}$ である。$y=\alpha -1$ は $(y+1{)}^3=10$、すなわち $y^3+3y^2+3y-9=0$ をみたす。$y^3$ で割って $\frac{1}{y}=\frac{\omega }{3}$ を代入すると
$$1+\omega +\frac{{\omega }^2}{3}-\frac{{\omega }^3}{3}=0,\text{よって}{\omega }^3-{\omega }^2-3\omega -3=0.$$
したがって $\omega \in {\mathcal{O}}_K$。$g(x)=x^3-x^2-3x-3$ の判別式は、$x^3+b{x}^2+cx+d$ の判別式 $b^2{c}^2-4c^3-4b^{3}d-27d^2+18bcd$ に $b=-1,c=-3,d=-3$ を代入して
$$9+108-12-243-162=-300=-2^2\cdot 3\cdot 5^2.$$
$\mathrm{disc}(\mathbb{Z}[\omega ])=[{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\omega ]{]}^2{d}_K$ で、$-300$ を割る平方数は $1,4,25,100$。$x^3-10$ が $5$ に関してアイゼンシュタインなので指数 $[{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]]$ は $5$ と素、また $2$ についても $\alpha$ は $2$ 進付値 $1/3$ をもち $2$ は完全分岐するので、$v_2(d_K)\ge 2$。よって $d_K=-300$、${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\omega ]$ である（$\mathbb{Z}[\alpha ]$ は指数 $3$）。

2. 各素数の分解（デデキントの定理）. ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\omega ]$ なので、すべての素数 $p$ について $g(x)\mathrm{mod}p$ の分解から $p{\mathcal{O}}_K$ の分解がわかる。また $p\ne 3$ では $p\nmid [{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]]$ なので $x^3-10\mathrm{mod}p$ を使ってもよい。

• $p=2$: $g(x)\equiv x^3+x^2+x+1\equiv (x+1{)}^3(\mathrm{mod}2)$。$2{\mathcal{O}}_K={\mathfrak{p}}_2^3$、$N({\mathfrak{p}}_2)=2$。
• $p=3$: $g(x)\equiv x^3-x^2=x^2(x-1)(\mathrm{mod}3)$。$3{\mathcal{O}}_K={\mathfrak{p}}^2\mathfrak{q}$（$\mathfrak{p}=(3,\omega )$、$\mathfrak{q}=(3,\omega -1)$）で、ノルムはともに $3$。$3$ は分岐するが完全分岐ではない。
• $p=5$: $x^3-10\equiv x^3(\mathrm{mod}5)$。$5{\mathcal{O}}_K={\mathfrak{p}}_5^3$、$N({\mathfrak{p}}_5)=5$。
• $p\equiv 2(\mathrm{mod}3)$（$p=11,17,23,29$）: $p-1$ が $3$ で割り切れないので $x\mapsto x^3$ は ${\mathbb{F}}_p^{\times }$ の全単射で、$x^3\equiv 10$ の根はちょうど $1$ つ。$x^3-10\equiv (x-a)(\text{既約 2 次式})$ となり、$p{\mathcal{O}}_K=\mathfrak{p}{\mathfrak{p}}^{\prime }$、$N(\mathfrak{p})=p$、$N({\mathfrak{p}}^{\prime })=p^2$。
• $p\equiv 1(\mathrm{mod}3)$（$p=7,13,19$）: $10$ が ${\mathbb{F}}_p$ で 3 乗数かどうかを調べる。
• $\mathrm{mod}7$ の 3 乗数は $0,1,6$ で、$10\equiv 3$ は 3 乗数でない。
• $\mathrm{mod}13$ の 0 以外の 3 乗数は $1,5,8,12$ で、$10$ は 3 乗数でない。
• $\mathrm{mod}19$ の 0 以外の 3 乗数は $1,7,8,11,12,18$ で、$10$ は 3 乗数でない。

いずれも $x^3-10$ は ${\mathbb{F}}_p$ に根をもたない 3 次式なので既約で、$p$ は惰性する（$N=p^3\ge 343$）。

3. 数え上げ. ノルムは素数のべき $p^f$ なので、$N(\mathfrak{p})<30$ となるのは $p<30$ の素数の上にある素イデアルのうち、$p^f<30$ のものである。$f\ge 2$ で $p^f<30$ となるのは $p\in \{2,3,5\}$ だけだが、上の分解からこれらの上の素イデアルはすべて $f=1$。したがって、ノルムが素数 $p<30$ となる素イデアルを数えればよい。

合計は $1+2+1+0+1+0+1+0+1+1=8$ である。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{10})$。素イデアルのノルムは $p^f$ ($f\le 3$) なので、$N(\mathfrak{p})<30$ となるのは、$f=1$ の素数 $p\le 29$、$f=2$ の $p^2<30$ すなわち $p=2,3,5$、$f=3$ の $p^3<30$ すなわち $p=2,3$ の場合である。\n\n$10=10\cdot 1^2$ かつ $10\equiv 1(\mathrm{mod}9)$ なので $d_K=-3\cdot 10^2=-300$、$[{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]]=3$。分岐する素数は $2,3,5$ のみ。\n\n- $p=2$: $x^3-10$ は Eisenstein なので完全分岐。$2={\mathfrak{p}}^3$、素イデアル 1 個（ノルム 2）。\n- $p=5$: 同様に Eisenstein で $5={\mathfrak{p}}^3$、1 個（ノルム 5）。\n- $p=3$: $10\equiv 1(\mathrm{mod}9)$ なので $3={\mathfrak{P}}^2\mathfrak{Q}$（ともに $f=1$）。素イデアル 2 個（ノルム 3, 3）。\n- $p\ne 2,3,5$ ($p\nmid$ 指数なので Dedekind の定理が使える): \n - $p\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ のとき、立方写像は全単射なので $x^3-10$ は 1 次因子 1 つと既約 2 次因子に分解し、$f=1$ が 1 個、$f=2$ が 1 個。$p=11,17,23,29$ が該当し、ノルム $p<30$ のものが各 1 個で計 4 個（$p^2\ge 121$ は不可）。\n - $p\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ のとき、10 が $p$ を法として立方剰余なら完全分解、そうでなければ惰性。$p=7$: 立方剰余は $\{1,6\}$ で $10\equiv 3$ は非剰余。$p=13$: 立方剰余は $\{1,5,8,12\}$ で $10$ は非剰余。$p=19$: $10^6\equiv 11\not\equiv 1$ なので非剰余。いずれも惰性でノルム $p^3>30$。寄与 0。\n\n合計 $1+1+2+4=8$。検算: 2 次の素イデアル（ノルム $p^2$）は $p\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ の $p=11,\dots$ で $p^2>30$ なので含まれない。ノルム $<30$ の素数側は $2,3,3,5,11,17,23,29$ の 8 個。