代数的整数論の問題

$\mathfrak{P}$ が素数 $p$ の上にあるとき $N(\mathfrak{P})=p^f$（$f$ は惰性次数）である。$L/\mathbb{Q}$ はガロア拡大（ガロア群 $S_3$）なので、$p$ の上の素イデアルはすべて同じ分岐指数 $e$ と惰性次数 $f$ をもち、$p$ の上の素イデアルの個数を $g$ とすると $efg=6$ が成り立つ。

分岐する素数. $\mathrm{disc}(x^3-3)=-27\cdot 3^2=-243=-3^5$、$\mathbb{Q}(\omega )$ の判別式は $-3$ である。$L$ は $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3})$ と $\mathbb{Q}(\omega )$ の合成体なので、$L$ で分岐しうる素数は $3$ だけである。

$p=3$. $\mathbb{Q}(\omega )$ では $3=-{\omega }^2(1-\omega {)}^2$ なので分岐指数は $2$。また $x^3-3$ は $3$ についてアイゼンシュタイン多項式なので、$3$ は $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3})$ で完全分岐し分岐指数は $3$。分岐指数は拡大の塔に関して乗法的なので、$L$ における $3$ の分岐指数は $2$ の倍数かつ $3$ の倍数、すなわち $6$ の倍数である。$e\le 6$ より $e=6,f=g=1$。よって $3$ の上の素イデアルはただ $1$ 個で、そのノルムは $3$。

$p\ne 3$（不分岐）. $p$ のフロベニウス元 ${\mathrm{Frob}}_p\in S_3$ の位数が $f$ である。
- $p\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ のとき：$p$ は $\mathbb{Q}(\omega )$ で惰性なので、${\mathrm{Frob}}_p$ は $\omega \mapsto {\omega }^2$ を引き起こし、単位元でも $3$-サイクルでもない。よって位数 $2$ で $f=2,g=3$。実際、$p=2$ では $x^3-3\equiv (x+1)(x^2+x+1)(\mathrm{mod}2)$、$p=5$ では $x^3-3\equiv (x-2)(x^2+2x+4)(\mathrm{mod}5)$ で、二次因子はいずれも既約（$\mathrm{mod}5$ での判別式 $4-16\equiv 3$ は平方非剰余）である。
- $p\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ のとき：$p$ は $\mathbb{Q}(\omega )$ で分解するので ${\mathrm{Frob}}_p\in A_3$、すなわち $f=1$ または $3$。${\mathbb{F}}_p$ は $1$ の原始 $3$ 乗根を含むので、$x^3-3$ が ${\mathbb{F}}_p$ に根を $1$ つもてば $3$ つもつ。$p\nmid 3$ なのでデデキントの定理が使え、$3$ が $\mathrm{mod}p$ で $3$ 乗剰余（$3^{(p-1)/3}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$）なら $f=1,g=6$、そうでなければ $f=3,g=2$ である。

ノルム $\le 50$ の素イデアルの数え上げ.
- $f=1$：$p=3$ の上の $1$ 個のほかは、$p\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ かつ $3$ が $3$ 乗剰余で $p\le 50$ のもの。候補 $p=7,13,19,31,37,43$ について
$$3^2\equiv 2(\mathrm{mod}7),3^4\equiv 3(\mathrm{mod}13),3^6\equiv 7(\mathrm{mod}19),$$
$$3^{10}\equiv 25(\mathrm{mod}31),3^{12}\equiv 10(\mathrm{mod}37),3^{14}\equiv 36(\mathrm{mod}43)$$
で、どれも $1$ でない（たとえば $\mathrm{mod}7$ の $0$ でない立方数は $1,6$ だけで、$3$ は含まれない）。よって $p\le 50$ で完全分解する素数はなく、これらの $p$ はすべて $f=3$（ノルム $p^3>50$）である。$f=1$ でノルム $\le 50$ の素イデアルは $3$ の上の $1$ 個だけ。
- $f=2$：ノルム $p^2\le 50$ となる素数は $p=2,3,5,7$ だが、$f=2$ となるのは $p\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ の $p=2,5$ のみ。それぞれ $g=3$ なので $3+3=6$ 個（ノルム $4$ が $3$ 個、ノルム $25$ が $3$ 個）。
- $f=3$：$p^3\le 50$ となるのは $p=2,3$ だが、これらの $f$ はそれぞれ $2,1$ なので該当なし。$f=6$ は起こらない（ガロア群 $S_3$ に位数 $6$ の元はない）。

以上より、求める個数は $1+6=7$。

$L/\mathbb{Q}$ は Galois 拡大で、群は $S_3$ である。各素数 $p$ について、$p$ 上の素イデアルの分解を調べ、$N(\mathfrak{P})=p^f\le 50$ となるものを数える。

・$p=3$: $x^3-3$ は Eisenstein 多項式なので、$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3})$ で 3 は $e=3$。$\mathbb{Q}(\omega )$ では 3 は $e=2$ で分岐する。よって $e=6$, $f=g=1$。素イデアルは 1 個で、ノルムは 3。

・$p\equiv 2(\mathrm{mod}3)$（$p=2$ を含む）: $p$ は $\mathbb{Q}(\omega )$ で惰性なので $f$ は偶数。$x^3-3$ の判別式は $-243$ なので $p\ne 3$ で不分岐。Frobenius は互換になるので $f=2$, $g=3$。ノルムは $p^2\le 50$ より $p=2,5$。それぞれ素イデアルは 3 個ずつで、ノルムは 4 と 25。合計 6 個。$p=11$ 以上ではノルムが $p^2\ge 121$ となり不適。

・$p\equiv 1(\mathrm{mod}3)$（$p\le 50$ では $7,13,19,31,37,43$）: $p$ は $\mathbb{Q}(\omega )$ で完全分解する。Frobenius は、3 が $p$ を法として 3 乗剰余なら自明で $f=1$, $g=6$、そうでなければ位数 3 で $f=3$ となる。$f=3$ ならノルムは $p^3\ge 343>50$ で不適。
3 が 3 乗剰余かどうかは $3^{(p-1)/3}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ で判定する。
- $p=7$: 3 乗剰余は $\{1,6\}$ で、3 は含まれない。
- $p=13$: 3 乗剰余は $\{1,5,8,12\}$ で、3 は含まれない。
- $p=19$: 3 乗剰余は $\{1,7,8,11,12,18\}$ で、3 は含まれない。
- $p=31$: $3^{10}\equiv 25\ne 1$。
- $p=37$: $3^{12}\equiv 10\ne 1$。
- $p=43$: $3^{14}\equiv 36\ne 1$。
どの $p$ も 3 は 3 乗剰余でないので、条件をみたす素イデアルはない。

合計は $1+6+0=7$ 個。