ガロア拡大での素数の分解（efg=n とフロベニウス）

$G=\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$、$n=|G|=[L:\mathbb{Q}]$ とし、$p$ の上の素イデアル $\mathfrak{P}$ の剰余体 $\kappa ={\mathcal{O}}_L/\mathfrak{P}$ を $|\kappa |=p^f$ と書きます。$\sigma \in G$ は ${\mathcal{O}}_L$ を ${\mathcal{O}}_L$ に移し $p{\mathcal{O}}_L$ を動かさないので、$p$ の上の素イデアルを $p$ の上の素イデアルに移します。この作用は推移的です。実際、$p$ の上の素イデアル $\mathfrak{Q}$ がどの $\sigma (\mathfrak{P})$ とも異なるとすると、相異なる素イデアルは互いに素なので中国剰余定理（互いに素な法への分解をイデアルに広げたもの）により、$x\in \mathfrak{Q}$ かつすべての $\sigma$ で $x\equiv 1(\mathrm{mod}\sigma (\mathfrak{P}))$ となる $x\in {\mathcal{O}}_L$ がとれます。${\prod }_{\sigma \in G}\sigma (x)$ は $G$ で動かない整数で $\mathfrak{Q}$ に入るので $p$ の倍数、したがって $\mathfrak{P}$ に入り、ある $\sigma (x)\in \mathfrak{P}$、つまり $x\in {\sigma }^{-1}(\mathfrak{P})$ となって $x\equiv 1$ に矛盾します。$\sigma$ は分解 $p{\mathcal{O}}_L=\prod {\mathfrak{P}}_i^{e_i}$ を同じ形の分解に移し、剰余体 ${\mathcal{O}}_L/{\mathfrak{P}}_i\cong {\mathcal{O}}_L/\sigma ({\mathfrak{P}}_i)$ も同型に移すので、推移性からすべての $e_i,f_i$ は等しく、$\sum e_i{f}_i=n$ は $efg=n$ になります。

$\mathfrak{P}$ を動かさない元の集まり $D=\{\sigma \in G:\sigma (\mathfrak{P})=\mathfrak{P}\}$（分解群）を考えると、$\mathfrak{P}$ の行き先は $g$ 個なので $|D|=n/g=ef$ です。$\sigma \in D$ は $\kappa$ の自己同型 $\bar{\sigma }$（$x\mathrm{mod}\mathfrak{P}\mapsto \sigma (x)\mathrm{mod}\mathfrak{P}$）を引き起こします。$x\mapsto x^p$ に一致する $\bar{\sigma }$ があることを示します。${\kappa }^{\times }$ の生成元 $\bar{\theta }$ をとり、中国剰余定理で $\theta \equiv \bar{\theta }(\mathrm{mod}\mathfrak{P})$、$\mathfrak{P}$ 以外の $p$ の上のすべての素イデアルで $\theta \equiv 0$ となる $\theta \in {\mathcal{O}}_L$ を選びます。$P(x)={\prod }_{\sigma \in G}(x-\sigma (\theta ))$ は整数係数で、$\mathrm{mod}\mathfrak{P}$ で $\bar{\theta }$ を根にもつので ${\bar{\theta }}^p$ も根です（係数が ${\mathbb{F}}_p$ に入るから）。よってある $\sigma$ で $\sigma (\theta )\equiv {\bar{\theta }}^p\not\equiv 0(\mathrm{mod}\mathfrak{P})$。$\sigma \notin D$ なら ${\sigma }^{-1}(\mathfrak{P})\ne \mathfrak{P}$ で $\theta \in {\sigma }^{-1}(\mathfrak{P})$、$\sigma (\theta )\in \mathfrak{P}$ となり矛盾するので $\sigma \in D$、そして $\bar{\theta }$ が $\kappa$ を生成するので $\bar{\sigma }$ は $x\mapsto x^p$ です。こうして $D\to \mathrm{Gal}(\kappa /{\mathbb{F}}_p)$ は全射で、核 $I=\{\sigma \in D:\bar{\sigma }=\mathrm{id}\}$ の位数は $ef/f=e$ です。$p$ が不分岐（$e=1$）なら $D\cong \mathrm{Gal}(\kappa /{\mathbb{F}}_p)$ で、$x\mapsto x^p$ に対応する元がただ 1 つあります。これがフロベニウス元 ${\mathrm{Frob}}_{\mathfrak{P}}$ で、すべての $x\in {\mathcal{O}}_L$ で ${\mathrm{Frob}}_{\mathfrak{P}}(x)\equiv x^p(\mathrm{mod}\mathfrak{P})$ を満たし、位数は $x\mapsto x^p$ と同じ $f$ です。さらに不分岐の判定法: $L$ が整数係数のモニック多項式 $h$（重根なし）の分解体で、根を ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$（${\mathcal{O}}_L$ の元）、$\mathrm{disc}(h)={\prod }_{i<j}({\alpha }_i-{\alpha }_j{)}^2$ とします。$e\ge 2$ なら $I$ に $\sigma \ne \mathrm{id}$ があり、$L$ は根で生成されるので $\sigma ({\alpha }_i)={\alpha }_j$（$j\ne i$）となる $i$ があり、${\alpha }_j-{\alpha }_i=\sigma ({\alpha }_i)-{\alpha }_i\in \mathfrak{P}$、よって $\mathrm{disc}(h)\in \mathfrak{P}\cap \mathbb{Z}=p\mathbb{Z}$。つまり $p\nmid \mathrm{disc}(h)$ なら $p$ は $L$ で不分岐です。逆は成り立たず、$\mathrm{disc}(h)$ を割るが不分岐な素数もあります（$h$ の取り方によるので、別の $h$ で調べ直すか直接調べる）。

したがって不分岐な $p$ では「完全分解 $⟺f=1⟺{\mathrm{Frob}}_{\mathfrak{P}}=\mathrm{id}$」です。$p\nmid \mathrm{disc}(h)$ のとき、根の差は $\mathfrak{P}$ に入らないので根は $\mathrm{mod}\mathfrak{P}$ で相異なり、${\mathrm{Frob}}_{\mathfrak{P}}({\alpha }_i)$ はある根 ${\alpha }_j$ で ${\alpha }_j\equiv {\alpha }_i^p$ です。よって ${\mathrm{Frob}}_{\mathfrak{P}}$ による根の置換は、$h\mathrm{mod}p$ の根の上の $\bar{\alpha }\mapsto {\bar{\alpha }}^p$ と同じで、その巡回の長さは $\bar{\alpha }$ の共役の個数、つまり $\bar{\alpha }$ を含む既約因子の次数です。$L$ は根で生成されるので $G$ の元は根の置換で決まり（根に忠実に働き）、${\mathrm{Frob}}_{\mathfrak{P}}$ の位数 $f$ は巡回の長さ、すなわち $h\mathrm{mod}p$ の既約因子の次数の最小公倍数です。合成体 $L=K_1{K}_2$（$K_i/\mathbb{Q}$ もガロア）では、$p$ が $L$ で完全分解すれば各 $K_i$ でも完全分解します（$\mathfrak{p}=\mathfrak{P}\cap {\mathcal{O}}_{K_i}$ について $p{\mathcal{O}}_{K_i}$ の分解を ${\mathcal{O}}_L$ で読むと $K_i$ での分岐指数は $e$ を割り、剰余体 ${\mathcal{O}}_{K_i}/\mathfrak{p}$ は $\kappa$ に埋め込まれるので剰余次数は $f$ を割るから）。逆に $p$ が $L$ で不分岐で各 $K_i$ で完全分解するとき、$K_i$ の分解群は位数 $1$ なので、$\mathfrak{p}$ を動かさない ${\mathrm{Frob}}_{\mathfrak{P}}{|}_{K_i}$ は恒等写像です。${\mathrm{Frob}}_{\mathfrak{P}}$ は $K_1,K_2$ を固定するので $L=K_1{K}_2$ を固定し、${\mathrm{Frob}}_{\mathfrak{P}}=\mathrm{id}$、$L$ で完全分解します。