代数的整数論の問題

ステップ 1: $L$ の構造. $i\sqrt{3}=\sqrt{-3}$ なので $L=\mathbb{Q}(i,\sqrt{-3})$ であり、$L/\mathbb{Q}$ は次数 $4$ のガロア拡大で、ガロア群は $\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2$ である。2 次の部分体は $K_1=\mathbb{Q}(i)$, $K_2=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$, $K_3=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ の 3 つで、$L=K_1{K}_2$ である。

ステップ 2: 完全分解を部分体で言いかえる. ガロア拡大では $p{\mathcal{O}}_L=({\mathfrak{p}}_1\cdots {\mathfrak{p}}_g{)}^e$, $efg=4$ であり、$p$ が完全分解するのは分解群 $D_{\mathfrak{p}}$（位数 $ef$）が自明なときである。$\mathfrak{p}$ の下にある $K_j$ の素イデアルの分解群は $D_{\mathfrak{p}}$ の $\mathrm{Gal}(K_j/\mathbb{Q})$ への像であり、制限写像 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})\to \mathrm{Gal}(K_1/\mathbb{Q})\times \mathrm{Gal}(K_2/\mathbb{Q})$ は単射である。よって
$$p\text{が}L\text{で完全分解}⟺p\text{が}{K}_1\text{と}{K}_2\text{の両方で完全分解（分解）}.$$

ステップ 3: 各 2 次体での分解. $K_1=\mathbb{Q}(i)$ の判別式は $-4$、$K_2=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ の判別式は $-3$ である。$p=2$ は $K_1$ で分岐、$p=3$ は $K_2$ で分岐するので除かれる。$p\ge 5$ では
- $K_1$ で分解 $⟺\left(\frac{-1}{p}\right)=1⟺p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$
- $K_2$ で分解 $⟺\left(\frac{-3}{p}\right)=1⟺p\equiv 1(\mathrm{mod}3)$

（後者は相互法則より $\left(\frac{-3}{p}\right)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{3}{p}\right)=\left(\frac{p}{3}\right)$ による。）

両方を満たすのは $p\equiv 1(\mathrm{mod}12)$ のときである。

ステップ 4: 数え上げ. $100$ 以下で $12$ で割って $1$ 余る数は $13,25,37,49,61,73,85,97$ で、このうち素数は $13,37,61,73,97$ である。

（確認: たとえば $p=5$ は $K_1$ で分解するが $K_2$ で惰性なので $f=2$, $g=2$, $e=1$ で $efg=4$ となり、完全分解しない。）

したがって答えは $\{13,37,61,73,97\}$ である。

$L=\mathbb{Q}(i,\sqrt{3})$ は $\mathbb{Q}({\zeta }_{12})$ と一致する（${\zeta }_{12}=\frac{\sqrt{3}+i}{2}$ であり、逆に ${\zeta }_{12}^3=i$, ${\zeta }_{12}+{\zeta }_{12}^{-1}=\sqrt{3}$）。次数は $[L:\mathbb{Q}]=\phi (12)=4$。円分体 $\mathbb{Q}({\zeta }_m)$ では、$p\nmid m$ のとき $p$ の分解は $p\mathrm{mod}m$ の $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }$ での位数 $f$ で決まり、$e=1$, $g=\phi (m)/f$ である。よって $p$ が完全分解することと $p\equiv 1(\mathrm{mod}12)$ は同値。$p\mid 12$ すなわち $p=2,3$ は分岐するので完全分解しない。\n\n別の見方: $p$ が $\mathbb{Q}(i)$ で分解することは $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$、$\mathbb{Q}(\sqrt{3})$（判別式 $12$）で分解することは $p\equiv \pm 1(\mathrm{mod}12)$。両方で分解する条件は $p\equiv 1(\mathrm{mod}12)$ となり一致する。\n\n$100$ 以下で $12k+1$ の形の数は $13,25,37,49,61,73,85,97$。このうち素数は $13,37,61,73,97$（$25=5^2$, $49=7^2$, $85=5\cdot 17$ は合成数）。\n\n検算: $p=13$ で $-1\equiv 5^2$, $3\equiv 4^2=16$ より $-1$, $3$ がともに平方剰余（$3\equiv 4^2$, $-1\equiv 5^2$）で完全分解を確認。$p=5$ は $5\equiv 5(\mathrm{mod}12)$ で $3$ が平方非剰余（$\left(\frac{3}{5}\right)=-1$）なので完全分解しない。$p=7$ は $-1$ が平方非剰余なので不可。\n\n答え: $\{13,37,61,73,97\}$。