代数的整数論の問題

1. 判別式を求める。

$-2\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ なので ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ で、判別式は $d_K=4\cdot (-2)=-8$ である。

2. 分解の判定法。

奇素数 $p$ について
- $p\mid d_K$ なら分岐。$d_K=-8$ を割る奇素数はないので、どの奇素数も分岐しない。
- $\left(\frac{d_K}{p}\right)=1$ なら分解、$-1$ なら惰性。

ここで $\left(\frac{-8}{p}\right)=\left(\frac{4}{p}\right)\left(\frac{-2}{p}\right)=\left(\frac{-2}{p}\right)$ なので、$-2$ が法 $p$ の平方剰余かどうかを調べればよい。

3. 各素数で調べる。

補充法則から $\left(\frac{-2}{p}\right)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{2}{p}\right)$ で、これは $p\equiv 1,3(\mathrm{mod}8)$ のとき $1$、$p\equiv 5,7(\mathrm{mod}8)$ のとき $-1$ である。直接確かめると:
- $p=3$: $-2\equiv 1=1^2$ → 分解
- $p=5$: $-2\equiv 3$、平方剰余は $1,4$ → 惰性
- $p=7$: $-2\equiv 5$、平方剰余は $1,2,4$ → 惰性
- $p=11$: $-2\equiv 9=3^2$ → 分解
- $p=13$: $-2\equiv 11$、平方剰余は $1,3,4,9,10,12$ → 惰性
- $p=17$: $-2\equiv 15\equiv 7^2$（$49=2\cdot 17+15$）→ 分解
- $p=19$: $-2\equiv 17\equiv 6^2$（$36=19+17$）→ 分解

（$3,11,17,19$ はそれぞれ $8$ で割って $3,3,1,3$ 余り、$5,7,13$ は $5,7,5$ 余るので、補充法則による判定と一致する。）

たとえば $p=3$ では $1^2\equiv -2(\mathrm{mod}3)$ より $3{\mathcal{O}}_K=(3,1+\sqrt{-2})(3,1-\sqrt{-2})$ と書ける。

よって分解する素数は $3,11,17,19$ である。

${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$、判別式 $-8$。奇素数 $p$ は $x^2+2$ が ${\mathbb{F}}_p$ で可約、すなわち $-2$ が $p$ を法とする平方剰余のとき、かつそのときに限り分解する（Dedekind の定理）。$\left(\frac{-2}{p}\right)=1⟺p\equiv 1,3(\mathrm{mod}8)$。

各素数を確かめる:
- $p=3$: $3\equiv 3$、$-2\equiv 1=1^2$ で分解する。
- $p=5$: $5\equiv 5$、$-2\equiv 3$、平方剰余は $1,4$ なので分解しない。
- $p=7$: $7\equiv 7$、$-2\equiv 5$、平方剰余は $1,2,4$ なので分解しない。
- $p=11$: $11\equiv 3$、$-2\equiv 9=3^2$ で分解する。
- $p=13$: $13\equiv 5$、$-2\equiv 11$、平方剰余は $1,3,4,9,10,12$ なので分解しない。
- $p=17$: $17\equiv 1$、$-2\equiv 15\equiv 6^2=36\equiv 2$? ではなく $-2\equiv 15$、$7^2=49\equiv 15$ で分解する。
- $p=19$: $19\equiv 3$、$-2\equiv 17\equiv 6^2=36$ で分解する。

よって求める素数は $3,11,17,19$。