代数的整数論の問題

$L$ の構造. $f(x)=x^3-x-1$ は $\pm 1$ を根にもたないので $\mathbb{Q}$ 上既約で、判別式は $-4(-1{)}^3-27(-1{)}^2=4-27=-23$。これは平方数でないので $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})\cong S_3$、$[L:\mathbb{Q}]=6$ で、$L$ は 2 次体 $k=\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$ を含む。

$\theta$ を $f$ の根、$F=\mathbb{Q}(\theta )$ とすると $\mathrm{disc}(\mathbb{Z}[\theta ])=-23$ は平方因子をもたないので ${\mathcal{O}}_F=\mathbb{Z}[\theta ]$, $d_F=-23$。$F$ で分岐する素数は $23$ だけで、$23$ の分解は $f\equiv (x-3)(x-10{)}^2(\mathrm{mod}23)$ より $23={\mathfrak{p}}_1{\mathfrak{p}}_2^2$（分岐指数 $2$, 惰性的な成分なし）。よって $L$ の $23$ 上の分岐指数は $2$ で、これは $k/\mathbb{Q}$ の分岐で吸収されるので、$L/k$ は有限素点で不分岐。$k$ は虚 2 次体なので無限素点の分岐もない。したがって $L/k$ は次数 $3$ の不分岐アーベル拡大である。

一方、判別式 $-23$ の簡約形式は $|b|\le a\le c$, $b^2-4ac=-23$ から $(1,1,6),(2,1,3),(2,-1,3)$ の 3 個なので $h_k=3$。よって $L$ は $k$ のヒルベルト類体である。

完全分解の条件. $p\ne 23$ のとき（$p=23$ は分岐するので完全分解しない）、$p$ が $L$ で完全分解する $⟺$ $p$ が $k$ で分解し、$p=\mathfrak{p}\bar{\mathfrak{p}}$ の $\mathfrak{p}$ が $L/k$ で完全分解する $⟺$ $\mathfrak{p}$ が単項イデアル（ヒルベルト類体の性質）。$\mathfrak{p}=(\alpha )$, $\alpha =x+y\omega$, $\omega =\frac{1+\sqrt{-23}}{2}$ と書けば $p=N(\alpha )=x^2+xy+6y^2$。逆も成り立つ。したがって
$$p\text{ が }L\text{ で完全分解}⟺p=x^2+xy+6y^2(x,y\in \mathbb{Z}).$$

最小の $p$ を探す. $4p=(2x+y{)}^2+23y^2$ と変形する。$y=0$ なら $p$ は平方数で不適。$s=2x+y$ とおく（$s\equiv y(\mathrm{mod}2)$）。
- $y=\pm 1$（$s$ は奇数）: $4p=s^2+23$。$s=1,3,5,7,9,11,13,15$ に対し $p=6,8,12,18,26,36,48,62$ で、$p<62$ の範囲に素数はない。
- $y=\pm 2$（$s$ は偶数）: $4p=s^2+92$。$s=0,2,4,6,8,10$ に対し $p=23,24,27,32,39,48$（$s=0$ は $x=-1,y=2$ で $p=23$ だが、これは $\sqrt{-23}$ の場合で分岐する）、$s=12$ で $p=59$。
- $|y|\ge 3$: $4p\ge 23\cdot 9=207$ で、$y=\pm 3$ では $s$ 奇数で $p=52,54,58,64,\dots$、$|y|\ge 4$ では $p\ge 92$。

よって $59$ 未満で完全分解する素数はなく、$59=5^2+5\cdot 2+6\cdot 2^2$ が最小である。

確認. $\mathrm{mod}59$ で $f(4)=64-4-1=59\equiv 0$ であり、$f(x)\equiv (x-4)(x^2+4x+15)$。2 次式の判別式は $16-60=-44\equiv 15$、$\left(\frac{15}{59}\right)=\left(\frac{3}{59}\right)\left(\frac{5}{59}\right)=1\cdot 1=1$ なので $f$ は $\mathrm{mod}59$ で 3 つの 1 次式に分解し、$59$ は $F$ でも、したがって $L$ でも完全分解する。

答えは $59$。

$f(x)=x^3-x-1$ の判別式は $-23$ で、$\mathrm{Gal}(f)\cong S_3$、$[L:\mathbb{Q}]=6$。$\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$ の類数は $3$ で、$L$ はその 類体（ヒルベルト類体）である。よって素数 $p\ne 23$ が $L$ で完全分解することは、$p$ が $\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$ で完全分解し、かつその上の素イデアルが主イデアルであること、すなわち $p$ が主形式 $x^2+xy+6y^2$ で表されることと同値。

$y$ が奇数のとき $x^2+xy+6y^2$ は常に偶数なので、奇素数 $p$ については $y$ は偶数で、実質 $p=x^2+23y^2$ と同値。$y=0$ は平方で素数にならず、$y=\pm 1$ のとき $x^2+23$ は $x=0,\dots ,6$ で $23,24,27,32,39,48,59$、素数は $23$（分岐、除く）と $59$ のみ。$y=\pm 2$ は $92$ 以上。$p=2$ は $2x^2+xy+3y^2$ の値で、$f\mathrm{mod}2$ は既約。$p=3$ も既約（$f$ の根なし）。

ゆえに最小の素数は $59$。

補足確認: $p<59$ で $-23$ が平方剰余となる素数のうち、$13,29,31$ などは $f\mathrm{mod}p$ が根をもたない（3 次の既約）ことを直接確認でき、完全分解しない。