判別式と 3 次多項式のガロア群

既約な 3 次多項式の判別式 $D$ （ $x^{3} + p x + q$ なら $D = - 4 p^{3} - 27 q^{2}$ ）が平方数かどうかでガロア群が $A_{3}$ か $S_{3}$ かを判定し、分解体の次数（ $3$ または $6$ ）と、 $Q (α) / Q$ が正規拡大かどうかを求められる

前提

3 次方程式の解と係数の関係（数学II 複素数と方程式）
ガロアの基本定理と中間体の数え上げ（大学院数学体論・ガロア理論）

この技能までの道筋（67 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
2 変数の対称式（数学I 数と式）
2 次方程式の解と係数の関係（数学II 複素数と方程式）
3 変数の対称式（数学I 数と式）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
3 次方程式の解と係数の関係（数学II 複素数と方程式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
最小多項式と既約性の判定（大学数学代数学）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
拡大次数と次数の積の公式（大学数学代数学）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
極形式と積・商（数学C 複素数平面）
ド・モアブルの定理（数学C 複素数平面）
方程式 $z^{n} = a$ の解（数学C 複素数平面）
最小分解体とガロア群の位数（大学数学代数学）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（数学A 整数の性質）
文字式で表した整数の性質（中学数学数と式）
余りによる整数の分類（数学A 整数の性質）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
合同式（数学A 整数の性質）
群の位数と元の位数（大学数学代数学）
有限アーベル群の構造と部分群の個数（大学数学代数学）
ガロアの基本定理と中間体の数え上げ（大学院数学体論・ガロア理論）

説明

既約な 3 次多項式 $f (x) \in Q [x]$ のガロア群は $A_{3}$ （位数 $3$ ）か $S_{3}$ （位数 $6$ ）のどちらかで、そのどちらかは判別式 $D$ が有理数の平方かどうかだけで決まります。これを使うと、分解体を具体的に書かなくても、分解体の次数が $3$ か $6$ か、また 1 つの根 $α$ を添加した体 $Q (α)$ が $Q$ 上の正規拡大かどうかが、係数の計算だけでわかります。

なぜそうしてよいのか

$f$ の 3 根を $α, β, γ$ とし、 $δ = (α - β) (β - γ) (γ - α)$ , $D = δ^{2}$ と定めます。 $D$ は根の対称式なので、解と係数の関係により係数の多項式で書け、 $Q$ の元です。 $x^{3} + p x + q$ の場合に計算すると $D = - 4 p^{3} - 27 q^{2}$ になります。 $f$ は既約なので（ $Q$ 上の既約多項式は重根をもたず）3 根は相異なり、 $δ \neq = 0$ です。

ガロア群 $G = Gal (L / Q)$ （ $L$ は分解体）の元 $σ$ は 3 根を置換するので、 $G$ は $S_{3}$ の部分群とみなせます。 $σ$ が 2 つの根を入れ替える互換なら $δ$ の因子のうち符号が奇数個変わり $σ (δ) = - δ$ 、偶置換なら $σ (δ) = δ$ です。ガロアの基本定理より「 $δ \in Q$ 」 $⟺$ 「 $G$ のすべての元が $δ$ を固定する」 $⟺$ 「 $G \subset A_{3}$ 」（ $δ \neq = 0$ なので $- δ \neq = δ$ ）。そして $δ \in Q$ は「 $D$ が有理数の平方」と同じことです。

一方、 $f$ が既約なら $[Q (α) : Q] = 3$ が $[L : Q] = ∣ G ∣$ を割るので、 $∣ G ∣$ は $3$ の倍数で、 $S_{3}$ の部分群としては $A_{3}$ か $S_{3}$ しかありません。よって $D$ が平方なら $G = A_{3}$ , $[L : Q] = 3$ で $L = Q (α)$ となり $Q (α) / Q$ は正規、平方でなければ $G = S_{3}$ , $[L : Q] = 6$ で $Q (α)$ は $L$ より真に小さく正規ではありません（ $Q (α)$ に対応する部分群は位数 $2$ で、 $S_{3}$ の正規部分群ではない）。

手順

$f$ が $Q$ 上既約であることを確かめる（3 次なので有理数の根をもたないことを有理根の候補で調べればよい）
$x^{2}$ の項があるときは $x = y - \frac{b}{3 a}$ と置いて、 $a$ で割った $y^{3} + p y + q$ の形にする（根の差は変わらないので $D$ も変わらない）
判別式 $D = - 4 p^{3} - 27 q^{2}$ を計算する
$D$ が有理数の平方かどうかを調べる（ $D < 0$ なら平方ではない）
平方なら $G = A_{3}$ , 分解体の次数 $3$ , $Q (α) / Q$ は正規。平方でなければ $G = S_{3}$ , 分解体の次数 $6$ , $Q (α) / Q$ は正規でない

例題

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ の $Q$ 上の最小分解体を $L$ とする。拡大次数 $[L : Q]$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: 有理根の候補は $\pm 1$ で、 $f (1) = - 1$ , $f (- 1) = 3$ なのでどちらも根ではない。3 次式で有理根をもたないので $f$ は $Q$ 上既約。

手順 2: すでに $x^{3} + p x + q$ の形で、 $p = - 3$ , $q = 1$ 。

手順 3: $D = - 4 (- 3)^{3} - 27 \cdot 1^{2} = 108 - 27 = 81$ 。

手順 4: $81 = 9^{2}$ は有理数の平方。

手順 5: よってガロア群は $A_{3}$ で、 $[L : Q] = ∣ A_{3} ∣ = 3$ 。（特に 1 つの根 $α$ について $L = Q (α)$ で、 $Q (α) / Q$ は正規拡大。）

答え: $3$

よくある誤り

既約性を確かめずに判定してしまう誤り。例えば $x^{3} - x = x (x - 1) (x + 1)$ は $D = - 4 (- 1)^{3} - 0 = 4 = 2^{2}$ だが分解体は $Q$ 自身で次数 $1$ 。正しくは、 $A_{3}$ / $S_{3}$ の判定は既約な 3 次式に対してだけ使う
$p$ が負のときの符号を間違える誤り。 $x^{3} - 3 x + 1$ で $- 4 p^{3} = - 4 \cdot (- 27) = + 108$ を $- 108$ としてしまうと $D = - 135$ となり $S_{3}$ と誤判定する。正しくは $D = 108 - 27 = 81$
$x^{2}$ の項がある式にそのまま $- 4 p^{3} - 27 q^{2}$ を当てはめてしまう誤り。例えば $x^{3} + 3 x^{2} - 1$ で $p = 0$ , $q = - 1$ として $D = - 27$ とするのは誤り。正しくは $x = y - 1$ で $y^{3} - 3 y + 1$ に直してから $D = 81$ を得る
$D$ が平方でないときも $Q (α)$ が分解体だと思ってしまう誤り。例えば $x^{3} - 2$ は $D = - 27 \cdot 4 = - 108$ で平方でなく、 $Q (32)$ は実数体に含まれ虚数の根 $32 ω$ を含まない。正しくは分解体の次数は $6$ で、 $Q (32) / Q$ は正規でない

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
有理数係数の多項式
$f (x) = x^{3} - 7 x + 7$
を考える。 $f$ の $C$ における最小分解体を $L$ とするとき、拡大次数 $[L : Q]$ を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 4（大学院入試の難問レベル）
多項式 $f (x) = x^{3} - x - 1 \in Q [x]$ の $Q$ 上の最小分解体を $L$ とする。素数 $p$ が $L$ で完全分解する（ $p O_{L}$ が相異なる $[L : Q]$ 個の素イデアルの積になる）ような素数 $p$ のうち、最小のものを求めよ。

この技能の次に学べること

3 次体の整数基底と判別式（大学院数学代数的整数論）