体論・ガロア理論の問題

手順 1: 既約性を確かめる。 係数 $-7,7$ はどちらも素数 $7$ で割り切れ、定数項 $7$ は $7^2=49$ で割り切れず、最高次の係数は $1$ である。よってアイゼンシュタインの判定法（$p=7$）により $f$ は $\mathbb{Q}$ 上既約である。

手順 2: 判別式を計算する。 $x^3+px+q$ の判別式は $D=-4p^3-27q^2$ である。$p=-7,q=7$ を代入すると
$$D=-4\cdot (-7{)}^3-27\cdot 7^2=-4\cdot (-343)-27\cdot 49=1372-1323=49=7^2.$$

手順 3: ガロア群を判定する。 既約な 3 次多項式のガロア群 $G=\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ は $S_3$ の推移的部分群なので $A_3$ か $S_3$ である。$\sqrt{D}=\pm ({\alpha }_1-{\alpha }_2)({\alpha }_2-{\alpha }_3)({\alpha }_3-{\alpha }_1)$ は奇置換で符号が変わるので、$G\subset A_3$ と $\sqrt{D}\in \mathbb{Q}$ は同値である。いま $D=7^2$ は有理数の平方なので $\sqrt{D}=7\in \mathbb{Q}$ となり、$G=A_3$ である。

手順 4: 次数を求める。 $[L:\mathbb{Q}]=|G|=|A_3|=3$。

（実際、$f$ の根 $\alpha$ を 1 つとると $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=3=[L:\mathbb{Q}]$ なので $\mathbb{Q}(\alpha )=L$ であり、$\mathbb{Q}(\alpha )/\mathbb{Q}$ は正規拡大になっている。）

答えは $3$。

$f(x)=x^3-7x+7$ は素数 $7$ でアイゼンシュタインの判定法が使えるので $\mathbb{Q}$ 上既約。したがってガロア群は $A_3$ または $S_3$ で、判別式が平方数かどうかで決まる。$x^3+px+q$ の判別式は $-4p^3-27q^2$ であり、$p=-7,q=7$ を代入すると $D=-4(-343)-27\cdot 49=1372-1323=49=7^2$。$D$ は $\mathbb{Q}$ での平方数なので、ガロア群は $A_3\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ で、$[L:\mathbb{Q}]=3$。検算: 既約な 3 次式なので $3\mid [L:\mathbb{Q}]$、$D$ が平方なので偶置換のみで $[L:\mathbb{Q}]=3$（$S_3$ なら $6$）。実根は 3 個（$f(-4)<0,f(1)=1>0,f(2)=1>0,f(1.5)=-0.125<0$ より $(-4,-3),(1,1.5),(1.5,2)$ に 1 つずつ）で $D>0$ とも整合する。