体論・ガロア理論の問題

拡大次数と群の決定。 $\sqrt[3]{2}$ を $2$ の正の実数の $3$ 乗根、$\omega =e^{2\pi i/3}$ とすると、$x^3-2$ の根は $\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\omega ,\sqrt[3]{2}{\omega }^2$、$x^2-5$ の根は $\pm \sqrt{5}$ である。よって
$$L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega ,\sqrt{5})$$
である。$F=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )$ は $x^3-2$ の最小分解体で、$[F:\mathbb{Q}]=6$、$\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})\cong S_3$ である。$S_3$ の指数 $2$ の部分群は $A_3$ ただ $1$ つなので、$F$ の $\mathbb{Q}$ 上 $2$ 次の部分体はただ $1$ つで、それは $\mathbb{Q}(\omega )=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ である。$\mathbb{Q}(\sqrt{5})\ne \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$（$5/(-3)$ は有理数の平方でない）より $\sqrt{5}\notin F$。したがって $[L:F]=2$ で
$$N=[L:\mathbb{Q}]=12.$$
さらに $F$ と $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ はともに $\mathbb{Q}$ 上ガロアで $F\cap \mathbb{Q}(\sqrt{5})=\mathbb{Q}$ だから、制限写像により
$$G=\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})\cong \mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})\times \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{5})/\mathbb{Q})\cong S_3\times C_2.$$

部分群の個数。 ガロア理論の基本定理より、中間体と $G$ の部分群は $1$ 対 $1$ に対応するので、$S_3\times C_2$ の部分群を位数ごとに数える（$C_2=\{0,1\}$ と書く）。
- 位数 $1$：$1$ 個。
- 位数 $2$：位数 $2$ の元は $(\tau ,0)$（$\tau$ は互換）が $3$ 個、$(\tau ,1)$ が $3$ 個、$(e,1)$ が $1$ 個で計 $7$ 個。よって $7$ 個。
- 位数 $3$：シロー $3$ 部分群で、位数 $3$ の元は $(\sigma ,0)$（$\sigma$ は $3$ 巡回置換）の $2$ 個のみなので $A_3\times \{0\}$ の $1$ 個。
- 位数 $4$：シロー $2$ 部分群。各互換 $\tau$ に対し $\{(e,0),(\tau ,0),(\tau ,1),(e,1)\}$ がそうであり、互いに異なるので $3$ 個（個数は $3$ の約数なので $3$ 個で全部）。
- 位数 $6$：指数 $2$ の部分群は正規で、$G\to C_2$ の全射準同型の核と $1$ 対 $1$ に対応する。$G$ のアーベル化は $C_2\times C_2$ なので、$\mathrm{Hom}(G,C_2)\cong C_2\times C_2$ の零でない元は $3$ 個。具体的には $S_3\times \{0\}$、$A_3\times C_2$、$\{(\sigma ,\mathrm{sgn}\sigma )\}$ の $3$ 個。
- 位数 $12$：$1$ 個。

合計 $1+7+1+3+3+1=16$。よって $M=16$。

以上より $(N,M)=(12,16)$。

$L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega ,\sqrt{5})$ である。ここで $\omega$ は 1 の原始 3 乗根である。

$F=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )$ は $x^3-2$ の最小分解体で、$\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})\cong S_3$、次数は 6 である。

$F$ の 2 次部分体は、$S_3$ の指数 2 の部分群 $A_3$ に対応する $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ だけである。よって $\sqrt{5}\notin F$ であり、$[L:F]=2$、$[L:\mathbb{Q}]=12$ となる。

さらに $F\cap \mathbb{Q}(\sqrt{5})=\mathbb{Q}$ なので、$\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})\cong S_3\times C_2$ である。これは位数 12 の二面体群 $D_6$ と同型で、$N=12$ である。

ガロア対応により、中間体の個数 $M$ は $D_6$ の部分群の個数に等しい。

二面体群 $D_n$（位数 $2n$）では、巡回部分群 $⟨r^d⟩$ が $n$ の約数 $d$ ごとに 1 個ずつあるので、その個数は $\tau (n)$ である。

また、鏡映を含む部分群 $⟨r^d,s{r}^i⟩$ は、各約数 $d$ に対して $d$ 個ある。したがって、その総数は $\sigma (n)$ である。

よって部分群の総数は $\tau (n)+\sigma (n)$ である。$n=6$ のとき $\tau (6)=4$、$\sigma (6)=12$ なので、$M=4+12=16$ である。

以上より $(N,M)=(12,16)$ である。