小さい非可換群の部分群の数え上げ

二面体群 $D_{n}$ 、 $S_{3} \times Z /2$ 、アフィン群 $Z / p ⋊ (Z / p)^{\times}$ （位数 $p (p - 1)$ ）などについて、元の位数とシローの定理を使って部分群をすべて挙げ、部分群の個数・正規部分群の個数・位数ごとの部分群の個数を求められる（例: 位数 $12$ の $D_{6}$ の部分群は $16$ 個）

前提

二面体群の共役類（大学数学代数学）

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算数中学高校大学大学院

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約数の見つけ方（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（数学A 整数の性質）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
文字式で表した整数の性質（中学数学数と式）
余りによる整数の分類（数学A 整数の性質）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
合同式（数学A 整数の性質）
群の位数と元の位数（大学数学代数学）
置換の巡回置換分解と位数（大学数学代数学）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
対称群の共役類（大学数学代数学）
二面体群の共役類（大学数学代数学）

説明

位数が数十程度までの非可換群（二面体群 $D_{n}$ 、 $S_{3} \times Z /2$ 、アフィン群 $Z / p ⋊ (Z / p)^{\times}$ など）について、部分群を漏れなく重複なく書き出し、その個数、位数ごとの個数、正規部分群の個数を求められるようになります。道具は、元の位数の一覧、ラグランジュの定理（部分群の位数は群の位数を割る）、そしてシローの定理です。特に $D_{n}$ では、すべての部分群が「回転だけの部分群」か「回転の部分群に鏡映を 1 つ足したもの」に分かれることを使うと、部分群の個数が $n$ の約数から機械的に数えられます。

なぜそうしてよいのか

部分群の数え上げは「位数ごとに分ける」のが基本です。ラグランジュの定理から部分群 $H$ の位数 $∣ H ∣$ は $∣ G ∣$ の約数なので、各約数 $d$ ごとに位数 $d$ の部分群を探します。素数位数 $p$ の部分群は巡回群で、位数 $p$ の元をちょうど $p - 1$ 個含み、異なる 2 つの位数 $p$ の部分群は単位元だけを共有します。より一般に、位数 $d$ の巡回部分群は位数 $d$ の元をちょうど $φ (d)$ 個（ $φ (d)$ は $1 \leq k \leq d$ で $g cd (k, d) = 1$ となる $k$ の個数）生成元として含み、位数 $d$ の元はどれもちょうど 1 つの位数 $d$ の巡回部分群（自分の生成する部分群）に属するので、位数 $d$ の巡回部分群の個数は（位数 $d$ の元の個数） $/ φ (d)$ です。素数べき位数の部分群については、シローの定理を使います。 $∣ G ∣ = p^{a} m$ （ $p ∤ m$ ）のとき、位数 $p^{a}$ の部分群（シロー $p$ 部分群）が存在し、それらは互いに共役で、その個数 $n_{p}$ は $n_{p} \equiv 1 (mod p)$ かつ $n_{p} ∣ m$ を満たします。 $n_{p} = 1$ のとき、かつそのときに限り、シロー $p$ 部分群は正規です。この個数の制約が使えるのは最大のべき $p^{a}$ の部分群だけで、それより小さい位数 $p^{b}$ （ $b < a$ ）の部分群には当てはまりません。

$D_{n} = {r^{k}, s r^{k} ∣ 0 \leq k < n}$ （ $r^{n} = s^{2} = e$ , $sr s^{- 1} = r^{- 1}$ ）では、もっと直接に全体が分類できます。部分群 $H$ に対し $H \cap ⟨ r ⟩$ は巡回群 $⟨ r ⟩$ の部分群なので、ある $d ∣ n$ で $⟨ r^{d} ⟩$ （位数 $n / d$ ）です。 $H$ に鏡映がなければ $H = ⟨ r^{d} ⟩$ で、これが $d ∣ n$ ごとに 1 つずつ、計 $τ (n)$ 個（ $τ (n)$ は $n$ の正の約数の個数）。 $H$ が鏡映 $s r^{i}$ を含むなら、 $s r^{i} \cdot s r^{j} = r^{- i} r^{j} = r^{j - i}$ なので、 $H$ に入る鏡映 $s r^{j}$ は $r^{j - i} \in ⟨ r^{d} ⟩$ 、すなわち $j \equiv i (mod d)$ のものだけで、逆にそれらはすべて入ります。よって $H = ⟨ r^{d}, s r^{i} ⟩$ （位数 $2 n / d$ ）で、 $i$ は $0 \leq i < d$ の $d$ 通りが別々の部分群を与えます。こちらは計 $σ (n) = \sum_{d ∣ n} d$ 個です。合わせて $D_{n}$ の部分群は $τ (n) + σ (n)$ 個あり、 $D_{6}$ なら $4 + 12 = 16$ 個になります。

正規部分群は「共役で閉じている部分群」、つまり共役類の和集合になっている部分群です。前提の技能で求めた共役類の一覧と照らし合わせれば、各部分群が正規かどうかがすぐ判定できます。例えば $n \geq 3$ のとき鏡映 $s$ の共役類は 2 個以上の元を含むので、 ${e, s}$ は正規ではありません。

手順

群の元を種類ごとに並べ、各元の位数を求めて「位数 $d$ の元が何個あるか」の表を作る。
ラグランジュの定理より、調べる部分群の位数を $∣ G ∣$ の約数に限る（自明な部分群 ${e}$ と $G$ 自身も数える）。
巡回部分群を数える。位数 $d$ の巡回部分群の個数 $=$ （位数 $d$ の元の個数） $/ φ (d)$ 。
最大の素数べき位数 $p^{a}$ の部分群にはシローの定理を使う。 $∣ G ∣ = p^{a} m$ （ $p ∤ m$ ）で $n_{p} \equiv 1 (mod p)$ , $n_{p} ∣ m$ から候補を絞り、元の個数と照らして $n_{p}$ を決める。
巡回でない部分群を探す。 $D_{n}$ なら $⟨ r^{d}, s r^{i} ⟩$ （ $d ∣ n$ , $0 \leq i < d$ ）の形に限られ、部分群の総数は $τ (n) + σ (n)$ となる。
正規部分群を数えるときは、各部分群が共役類の和集合になっているかを確かめる。

例題

正五角形の二面体群 $D_{5} = ⟨ r, s ∣ r^{5} = s^{2} = e, sr s^{- 1} = r^{- 1} ⟩$ （位数 $10$ ）の部分群の個数を求めよ（ ${e}$ と $D_{5}$ 自身も含める）。

例題の解答

（手順 1）元は回転 $r^{k}$ （ $0 \leq k \leq 4$ ）と鏡映 $s r^{k}$ （ $0 \leq k \leq 4$ ）。位数は、 $e$ が $1$ 、 $r, r^{2}, r^{3}, r^{4}$ が $5$ （ $5$ は素数）、鏡映 5 個はすべて $2$ （ $(s r^{k})^{2} = s r^{k} s r^{k} = r^{- k} r^{k} = e$ ）。

（手順 2）部分群の位数は $10$ の約数 $1, 2, 5, 10$ のどれか。位数 $1$ と $10$ はそれぞれ ${e}$ と $D_{5}$ の 1 個ずつ。

（手順 3）位数 $2$ の部分群は巡回で、位数 $2$ の元が $5$ 個、 $φ (2) = 1$ なので $5/1 = 5$ 個： ${e, s r^{k}}$ （ $k = 0, \dots, 4$ ）。

（手順 4）位数 $5$ の部分群はシロー $5$ 部分群（ $10 = 5 \cdot 2$ ）。 $n_{5} \equiv 1 (mod 5)$ かつ $n_{5} ∣ 2$ より $n_{5} = 1$ 。実際、位数 $5$ の元 $4$ 個を $φ (5) = 4$ で割っても $1$ 個で、それは $⟨ r ⟩$ 。

（手順 5 による確認）公式 $τ (5) + σ (5) = 2 + (1 + 5) = 8$ と一致する。

よって部分群は $1 + 5 + 1 + 1 = 8$ 個。

答え: $8$

よくある誤り

位数 $d$ の元の個数をそのまま位数 $d$ の部分群の個数としてしまう誤り。 $D_{5}$ では位数 $5$ の元が $4$ 個あるが、すべて同じ $⟨ r ⟩$ を生成する。正しくは $4/ φ (5) = 4/4 = 1$ 個。
巡回部分群だけを数えて、巡回でない部分群を落とす誤り。 $D_{4}$ （位数 $8$ ）の位数 $4$ の部分群を $⟨ r ⟩$ だけとしてしまうが、 ${e, r^{2}, s, s r^{2}} = ⟨ r^{2}, s ⟩$ と ${e, r^{2}, sr, s r^{3}} = ⟨ r^{2}, sr ⟩$ もあり、正しくは $3$ 個。全体も $τ (4) + σ (4) = 3 + 7 = 10$ 個。
鏡映 1 つで生成される部分群 ${e, s r^{k}}$ を正規だとしてしまう誤り。 $n \geq 3$ では $r s r^{- 1} = s r^{- 2} \neq = s$ なので ${e, s}$ は共役で閉じていない。正規かどうかは共役類の和集合になっているかで判定する（例えば $D_{5}$ の正規部分群は ${e}$ , $⟨ r ⟩$ , $D_{5}$ の $3$ 個）。
シローの定理の個数の制約を、最大べきでない素数べき位数の部分群にも使ってしまう誤り。 $D_{6}$ （位数 $12 = 2^{2} \cdot 3$ ）で、位数 $2$ の部分群の個数も $n_{2} \equiv 1 (mod 2)$ , $n_{2} ∣ 3$ から $1$ か $3$ だとしてしまうが、この制約が効くのは位数 $4$ のシロー $2$ 部分群だけである。正しくは位数 $2$ の元が $r^{3}$ と鏡映 $6$ 個の計 $7$ 個なので、位数 $2$ の部分群は $7/ φ (2) = 7$ 個。なお位数 $4$ の部分群は $⟨ r^{3}, s r^{i} ⟩$ （ $i = 0, 1, 2$ ）の $n_{2} = 3$ 個で、 $n_{2} \neq = 1$ なのでどれも正規ではない（シロー部分群だから正規、とは限らない）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$L$ を多項式 $x^{4} - 7$ の $Q$ 上の最小分解体（ $C$ の部分体）とする。ガロア群 $G = Gal (L / Q)$ は位数 $8$ の二面体群
$D_{4} = ⟨ r, s ∣ r^{4} = s^{2} = 1, sr s^{- 1} = r^{- 1} ⟩$
に同型であることが知られている（このことは証明せずに用いてよい）。 $Q \subseteq K \subseteq L$ を満たす中間体 $K$ の個数を求めよ。ただし $K = Q$ と $K = L$ も数に含める。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

$x^{n} - a$ の分解体とガロア群（大学院数学体論・ガロア理論）