体論・ガロア理論の問題

1. ガロア群. $\alpha =\sqrt[5]{6}$（実数）、$\zeta =e^{2\pi i/5}$ とおくと、$x^5-6$ の根は ${\zeta }^k\alpha (k=0,\dots ,4)$ なので $L=\mathbb{Q}(\alpha ,\zeta )$。$x^5-6$ は $p=2$ のアイゼンシュタイン多項式なので既約で $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=5$。また $[\mathbb{Q}(\zeta ):\mathbb{Q}]=4$。$5$ と $4$ は互いに素で、ともに $[L:\mathbb{Q}]$ を割り、$[L:\mathbb{Q}]\le 5\cdot 4$ なので $[L:\mathbb{Q}]=20$。

$G=\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の元は ${\sigma }_{a,b}:\alpha \mapsto {\zeta }^b\alpha ,\zeta \mapsto {\zeta }^a$（$a\in (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}{)}^{\times },b\in \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$）の $20$ 個で、${\sigma }_{a,b}$ を ${\mathbb{F}}_5$ のアフィン変換 $t\mapsto at+b$ に対応させると
$$G\cong \{t\mapsto at+b\mid a\in {\mathbb{F}}_5^{\times },b\in {\mathbb{F}}_5\}(\text{位数 }20)$$
となる（${\sigma }_{a,b}$ は根 ${\zeta }^k\alpha$ を ${\zeta }^{ak+b}\alpha$ に移す）。

2. 部分群の分類. $N=\{t\mapsto t+b\}$（位数 $5$）は正規部分群で、$G/N\cong {\mathbb{F}}_5^{\times }\cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$。
- 位数 $1$：$1$ 個（正規）。
- 位数 $5$：シローの定理より $n_5\mid 4,n_5\equiv 1(\mathrm{mod}5)$ なので $N$ のみ。$1$ 個（正規）。
- 位数 $10$：位数 $5$ の元を含むので $N$ を含み、$G/N$ の位数 $2$ の部分群に対応するので $\{t\mapsto \pm t+b\}$ のみ。$1$ 個（指数 $2$ なので正規）。
- 位数 $20$：$G$ 自身。$1$ 個（正規）。
- 位数 $4$：シロー $2$ 部分群。点 $c\in {\mathbb{F}}_5$ の固定部分群 $\{t\mapsto a(t-c)+c\}$ は位数 $4$ の巡回群で、$c$ ごとに異なるので $5$ 個。$n_5$ と同様 $n_2\mid 5$ より $n_2\le 5$ なので、ちょうど $5$ 個で互いに共役（正規でない）。
- 位数 $2$：位数 $2$ の元は $a=-1$ の $t\mapsto -t+b$ の $5$ 個なので $5$ 個。$t\mapsto -t+b$ どうしは $N$ の元で共役であり、正規でない。

部分群は全部で $1+5+5+1+1+1=14$ 個で、そのうち正規部分群は $\{1\},N,$位数 $10$ の部分群、$G$ の $4$ 個。

3. 結論. ガロアの基本定理により、中間体 $K$ は部分群 $H=\mathrm{Gal}(L/K)$ と一対一に対応し、$K/\mathbb{Q}$ がガロア拡大であることと $H$ が $G$ の正規部分群であることは同値である。よって求める個数は
$$14-4=10.$$

$L=\mathbb{Q}(\sqrt[5]{6},{\zeta }_5)$ で $[L:\mathbb{Q}]=20$。ガロア群は $G=\mathbb{Z}/5⋊(\mathbb{Z}/5{)}^{\times }\cong F_{20}$（位数 20 のフロベニウス群）。ガロア対応により中間体 $K$ は $G$ の部分群 $H$ と 1 対 1 に対応し、$K/\mathbb{Q}$ がガロア拡大であることと $H$ が正規部分群であることは同値。

$G$ の部分群を数える。位数 1: 1 個、位数 2: 5 個（共役）、位数 4: 5 個（Sylow 2 部分群、巡回群、共役）、位数 5: 1 個、位数 10: 1 個（二面体群 $D_5$）、位数 20: 1 個。位数 3 以外に位数 20 の約数 1,2,4,5,10,20 を網羅しており、合計 $1+5+5+1+1+1=14$ 個。

正規部分群は、自明群、位数 5 の群、位数 10 の群（指数 2）、$G$ 自身の 4 個（位数 2, 4 の部分群は 5 個ずつの共役類をなすので正規でない）。

検算: $F_{20}$ の共役類は 5 個（単位元、位数 5 の 4 元、位数 4 の元 2 クラス（5 元ずつ）、位数 2 の 5 元）で、正規部分群は共役類の和集合として閉じるもののみ。上の 4 個のみとなり一致する。

よって非ガロアな中間体の個数は $14-4=10$。