体論・ガロア理論の問題

$\alpha =\sqrt[6]{2}$（正の実数）、$\zeta =e^{2\pi i/6}=\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$ とおく。

分解体と次数. $x^6-2$ の根は $\alpha {\zeta }^k$（$k=0,1,\dots ,5$）なので、$L=\mathbb{Q}(\alpha ,\zeta )=\mathbb{Q}(\alpha ,\sqrt{-3})$ である。$x^6-2$ はアイゼンシュタインの判定法（素数 $2$）により既約なので $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=6$。$\mathbb{Q}(\alpha )\subset \mathbb{R}$ だから $\sqrt{-3}\notin \mathbb{Q}(\alpha )$ であり、$[L:\mathbb{Q}(\alpha )]=2$。よって $[L:\mathbb{Q}]=12$ である。$L/\mathbb{Q}$ は（標数 $0$ の）分解体なのでガロア拡大であり、
$$N=|\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})|=12$$
である。

ガロア群の構造. $\sigma \in G=\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ は $\sigma (\alpha )={\zeta }^b\alpha$（$b\in \mathbb{Z}/6$）、$\sigma (\zeta )={\zeta }^{\pm 1}$ で決まり、組み合わせは $6\times 2=12$ 通りで $|G|=12$ と一致するので、すべて実現する。
$$r:\alpha \mapsto \zeta \alpha ,\zeta \mapsto \zeta ,s:\alpha \mapsto \alpha ,\zeta \mapsto {\zeta }^{-1}$$
とおくと（$s$ は複素共役の制限）、$r$ の位数は $6$、$s$ の位数は $2$ で、
$$srs(\alpha )=sr(\alpha )=s(\zeta \alpha )={\zeta }^{-1}\alpha =r^{-1}(\alpha ),srs(\zeta )=\zeta =r^{-1}(\zeta )$$
より $srs=r^{-1}$。よって $G=⟨r,s⟩$ は位数 $12$ の二面体群 $D_6$ である。

部分群の数え上げ. ガロアの基本定理より、中間体の個数 $M$ は $G$ の部分群の個数に等しい。$G=\{r^k,s{r}^k\mid k\in \mathbb{Z}/6\}$ で、$s{r}^k$ はすべて位数 $2$ である。位数ごとに数える。
- 位数 $1$: $\{1\}$ の $1$ 個
- 位数 $2$: 位数 $2$ の元は $r^3$ と $s{r}^k$（$6$ 個）なので、$⟨r^3⟩,⟨s{r}^k⟩$ の $7$ 個
- 位数 $3$: 位数 $3$ の元は $r^2,r^4$ のみなので $⟨r^2⟩$ の $1$ 個
- 位数 $4$: 位数 $4$ の元はないので、クラインの四元群の形 $\{1,r^3,s{r}^k,s{r}^{k+3}\}$（$r^3$ は中心元で $s{r}^k\cdot r^3=s{r}^{k+3}$）。$k$ は $3$ を法として決まるので $3$ 個
- 位数 $6$: 巡回群 $⟨r⟩$ と、$S_3$ 型の $⟨r^2,s{r}^k⟩=\{1,r^2,r^4,s{r}^k,s{r}^{k+2},s{r}^{k+4}\}$（$k$ は $2$ を法として決まるので $2$ 個）の計 $3$ 個（$⟨r^2⟩$ を含まない位数 $6$ の部分群は、シローの定理より位数 $3$ の部分群がただ $1$ つ $⟨r^2⟩$ なので存在しない）
- 位数 $12$: $G$ の $1$ 個

合計は
$$1+7+1+3+3+1=16$$
である（二面体群 $D_n$ の部分群の個数の公式 $\tau (n)+\sigma (n)=4+12=16$ とも一致する）。したがって $M=16$。

以上より $(N,M)=(12,16)$ である。

$\alpha =\sqrt[6]{2}$（実数）、$\zeta =e^{2\pi i/6}$ とおくと $x^6-2$ の根は $\alpha {\zeta }^k$ で、$L=\mathbb{Q}(\alpha ,\zeta )$。$\zeta =\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$ なので $L=\mathbb{Q}(\alpha ,\sqrt{-3})$。$x^6-2$ はアイゼンシュタインにより既約だから $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=6$、$\mathbb{Q}(\alpha )\subset \mathbb{R}$ で $\sqrt{-3}\notin \mathbb{R}$ なので $[L:\mathbb{Q}(\alpha )]=2$。よって $N=12$。\n\nガロア群 $G$ は $\sigma :\alpha \mapsto \alpha \zeta ,\zeta \mapsto \zeta$（位数 6）と $\tau :\alpha \mapsto \alpha ,\zeta \mapsto {\zeta }^{-1}$（位数 2）で生成され、$\tau \sigma {\tau }^{-1}(\alpha )=\tau (\alpha \zeta )=\alpha {\zeta }^{-1}={\sigma }^{-1}(\alpha )$、$\tau \sigma {\tau }^{-1}(\zeta )=\zeta$ より $\tau \sigma {\tau }^{-1}={\sigma }^{-1}$。したがって $G\cong D_6$（位数 12 の二面体群）。\n\nガロア対応により $M$ は $G$ の部分群の個数に等しい。$D_n$ の部分群の個数は $\tau (n)+\sigma (n)$（$\tau (n)$ は約数の個数、$\sigma (n)$ は約数の和）。$n=6$ では $4+12=16$。\n\n内訳の確認: 巡回部分群 $⟨{\sigma }^{6/d}⟩$ が各約数 $d=1,2,3,6$ に 1 個ずつで 4 個。$\sigma$ の回転部分群 $⟨{\sigma }^k⟩$ ($k|6$) と鏡映を含む部分群が、各 $d|6$ について $6/d$ 個ずつ：$d=1$: 6、$d=2$: 3、$d=3$: 2、$d=6$: 1 で計 12 個。合計 $4+12=16$。\n\nよって $(N,M)=(12,16)$。