体論・ガロア理論の問題

$L=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$ である。$2,3,5$ の積で作られる $2,3,5,6,10,15,30$ はいずれも有理数の平方でないので、$[L:\mathbb{Q}]=8$ であり（$\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})$, $\sqrt{5}\notin \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ による）、ガロア群は各 $\sqrt{p}$ の符号を独立に変える写像からなり
$$\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/2{)}^3$$
である。

ガロアの基本定理より、$[K:\mathbb{Q}]=4$ の中間体 $K$ は、指数 $4$、すなわち位数 $8/4=2$ の部分群 $H=\mathrm{Gal}(L/K)$ と 1 対 1 に対応する。

$(\mathbb{Z}/2{)}^3$ の位数 $2$ の部分群は、単位元でない元 1 つで生成され、単位元でない元は $8-1=7$ 個あるので、$7$ 個である。

したがって求める中間体の個数は $7$。

（具体的には $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{5})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{15})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{10})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{5},\sqrt{6})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{6},\sqrt{10})$ の 7 つ。）

$L=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$ で、$[L:\mathbb{Q}]=8$、ガロア群は $(\mathbb{Z}/2{)}^3$（符号の取り替え $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\mapsto \pm$ を独立に選べる。$2,3,5$ の平方因子を除いた積が互いに独立であるため）。

ガロア対応で $[K:\mathbb{Q}]=4$ の中間体は、位数 $8/4=2$ の部分群に対応する。$(\mathbb{Z}/2{)}^3$ の位数 2 の部分群は、非自明な元 $2^3-1=7$ 個にそれぞれ 1 つ。

よって 7 個。

検算: 例 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{5})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{15})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{10})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{5},\sqrt{6})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{6},\sqrt{10})$ の 7 個。