クンマー拡大

$1$ の原始 $n$ 乗根を含む体 $K$ 上で、 $K (n a) / K$ が巡回拡大で、次数が $K^{\times} / (K^{\times})^{n}$ における $a$ の位数に等しいことを使い、 $K (n a_{1}, \dots, n a_{r})$ の次数を $a_{1}, \dots, a_{r}$ が生成する $K^{\times} / (K^{\times})^{n}$ の部分群の位数として求められる（例: $Q (2, 3, 6)$ の次数 $4$ ）

前提

二項多項式 $x^{p} - a$ の既約性（大学院数学体論・ガロア理論）
ガロアの基本定理と中間体の数え上げ（大学院数学体論・ガロア理論）

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算数中学高校大学大学院

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二項多項式 $x^{p} - a$ の既約性（大学院数学体論・ガロア理論）
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有限アーベル群の構造と部分群の個数（大学数学代数学）
ガロアの基本定理と中間体の数え上げ（大学院数学体論・ガロア理論）

説明

体 $K$ が $1$ の原始 $n$ 乗根 $ζ_{n}$ を含むとき、 $n$ 乗根をいくつか添加した拡大 $K (n a_{1}, \dots, n a_{r}) / K$ の次数は、 $a_{1}, \dots, a_{r}$ が「 $n$ 乗の違いを無視した乗法群」 $K^{\times} / (K^{\times})^{n}$ の中で生成する部分群の位数に等しくなります。これを使うと、たくさんの根号を添加した体の次数を、根号どうしの乗法的な関係（どれとどれを掛けると $n$ 乗になるか）を調べるだけで求められます。 $n = 2$ , $K = Q$ のとき、平方根をいくつも添加した体の次数計算がその典型です。

なぜそうしてよいのか

記号: $(K^{\times})^{n} = {c^{n} ∣ c \in K^{\times}}$ とし、 $K^{\times} / (K^{\times})^{n}$ を「 $n$ 乗の積だけ違う元を同じとみなした群」とします。 $μ_{n} = {1, ζ_{n}, \dots, ζ_{n}^{n - 1}} \subset K$ です。

1 個のとき: $α^{n} = a$ とすると $x^{n} - a$ の根は $ζ_{n}^{i} α$ で、すべて $K (α)$ に入るので $K (α) / K$ はガロア拡大（ $a \neq = 0$ なので根は相異なる）。 $σ \in G = Gal (K (α) / K)$ に対し $σ (α) / α \in μ_{n}$ で、 $ζ_{n}$ は $σ$ で動かないから $σ \mapsto σ (α) / α$ は単射準同型 $G \to μ_{n}$ です。 $μ_{n}$ は巡回群なので $G$ も巡回群で、 $∣ G ∣ = d$ なら像は $μ_{d}$ 。次数 $d$ と $a$ の位数 $m$ が等しいことは次のようにわかります。像が $μ_{d}$ なので $σ (α^{d}) = α^{d}$ 、よって $α^{d} \in K$ で $a^{d} = (α^{d})^{n} \in (K^{\times})^{n}$ 、つまり $m ∣ d$ 。逆に $a^{m} = b^{n}$ （ $b \in K$ ）なら $(α^{m} / b)^{n} = 1$ で $α^{m} \in K$ 、すると $σ (α) / α \in μ_{m}$ となり $G$ は $μ_{m}$ に埋め込まれ $d \leq m$ 。

複数のとき: $L = K (n a_{1}, \dots, n a_{r})$ （各 $a_{i}$ の $n$ 乗根を 1 つずつ選んで添加）とし、 $B$ を $a_{1}, \dots, a_{r}$ と $(K^{\times})^{n}$ で生成される $K^{\times}$ の部分群、 $B ˉ = B / (K^{\times})^{n}$ とします。 $L / K$ はガロア拡大で、 $b \in B$ の $n$ 乗根 $β \in L$ に対し $⟨ σ, b ⟩ = σ (β) / β \in μ_{n}$ は $β$ の選び方によらず、 $σ$ についても $b$ についても乗法的です。 $σ$ がすべての $b$ と $1$ を与えるなら $σ$ は生成元 $n a_{i}$ を固定し $σ = id$ 。 $b$ がすべての $σ$ と $1$ を与えるなら $β \in K$ で $b \in (K^{\times})^{n}$ 。この両側の単射性から $∣ G ∣ \leq ∣ Hom (B ˉ, μ_{n}) ∣ = ∣ B ˉ ∣$ , $∣ B ˉ ∣ \leq ∣ Hom (G, μ_{n}) ∣ = ∣ G ∣$ （指数が $n$ を割る有限アーベル群 $A$ では、巡回群の直積に分けて $∣ Hom (A, μ_{n}) ∣ = ∣ A ∣$ ）。よって $[L : K] = ∣ G ∣ = ∣ B ˉ ∣$ です。

手順

$K$ が $1$ の原始 $n$ 乗根を含むことを確かめる（ $n = 2$ なら $- 1 \in K$ なので常に成り立つ）
$K^{\times} / (K^{\times})^{n}$ で元を区別する方法を決める。 $K = Q$ , $n = 2$ なら、 $c = \pm \prod p^{e_{p}}$ の類は「符号」と「各素数の指数 $e_{p}$ の偶奇」で決まり、 $F_{2}$ 係数のベクトルとみなせる
各 $a_{i}$ をその表し方（ベクトル）に直す
$a_{1}, \dots, a_{r}$ が生成する部分群 $B ˉ$ の位数を求める。 $n = 2$ ならベクトルの $F_{2}$ 上の階数 $k$ を掃き出しで求めて $∣ B ˉ ∣ = 2^{k}$
$[K (n a_{1}, \dots, n a_{r}) : K] = ∣ B ˉ ∣$ と答える

例題

$Q (2, 6, 10, 15)$ の $Q$ 上の拡大次数を求めよ。

例題の解答

手順 1: $n = 2$ で $- 1 \in Q$ なので、クンマー拡大の議論が使える。

手順 2: 正の有理数の $Q^{\times} / (Q^{\times})^{2}$ での類は、各素数の指数の偶奇で決まる。ここで現れる素数は $2, 3, 5$ なので、指数の偶奇を $(e_{2}, e_{3}, e_{5}) \in F_{2}^{3}$ で表す。

手順 3: $2 \mapsto (1, 0, 0)$ , $6 \mapsto (1, 1, 0)$ , $10 \mapsto (1, 0, 1)$ , $15 \mapsto (0, 1, 1)$ 。

手順 4: $(1, 1, 0) + (1, 0, 1) = (0, 1, 1)$ なので $15$ の類は $6 \cdot 10$ の類と同じ（実際 $6 \cdot 10 = 60 = 15 \cdot 2^{2}$ ）。残りの $(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1)$ は掃き出すと $(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)$ になり一次独立なので、階数は $3$ 、 $∣ B ˉ ∣ = 2^{3} = 8$ 。

手順 5: よって拡大次数は $8$ 。

答え: $8$

よくある誤り

添加した根号の個数だけ $n$ を掛けてしまう誤り。 $Q (2, 6, 10, 15)$ を $2^{4} = 16$ 次とするのは誤り。正しくは $15 \equiv 6 \cdot 10$ ( $mod (Q^{\times})^{2}$ ) という関係があるので $2^{3} = 8$ 次
$1$ の原始 $n$ 乗根を含まない体でそのまま使ってしまう誤り。例えば $K = Q$ , $n = 3$ で $Q (32) / Q$ は $3$ 次だがガロア拡大ではなく、 $x^{3} - 2$ の分解体は $6$ 次。正しくは $ζ_{3} \in K$ のとき（例えば $K = Q (ζ_{3})$ ）に使う
符号を忘れて $- 1$ を平方類とみなしてしまう誤り。 $Q (- 3, 3)$ を $2$ 次とするのは誤り。 $- 1$ は $Q$ で平方でないので $- 3$ と $3$ の類は異なり、 $- 3 \cdot 3 = - 9$ も平方でない。正しくは符号の成分も加えた $F_{2}$ ベクトル $(1, 1), (0, 1)$ の階数 $2$ から $4$ 次
$K$ を取り替えたのに平方類の判定を $Q$ のまま行う誤り。 $K = Q (i)$ 上では $- 1 = i^{2}$ が平方なので、 $K (3, - 3) = K (3)$ で次数は $2$ 。正しくは $K^{\times} / (K^{\times})^{n}$ を基礎体 $K$ で考える

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$C$ の部分体
$L = Q (12, 18, 24, - 2)$
を考える。ここで $12, 18, 24$ は正の平方根、 $- 2 = 2 i$ とする。拡大次数 $[L : Q]$ を求めよ。

クンマー拡大

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

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