体論・ガロア理論の問題

手順 1: クンマー理論の設定を確認する。 $n=2$ とし、$K=\mathbb{Q}$ を考える。$1$ の原始 $2$ 乗根 $-1$ は $\mathbb{Q}$ に含まれるので、クンマー理論が使える。すなわち $a_1,\dots ,a_r\in {\mathbb{Q}}^{\times }$ に対し
$$[\mathbb{Q}(\sqrt{a_1},\dots ,\sqrt{a_r}):\mathbb{Q}]=\left|⟨a_1,\dots ,a_r⟩\right|$$
であり、右辺は $a_1,\dots ,a_r$ が ${\mathbb{Q}}^{\times }/({\mathbb{Q}}^{\times }{)}^2$ の中で生成する部分群の位数である。

手順 2: 各元を平方類で簡単にする。 ${\mathbb{Q}}^{\times }/({\mathbb{Q}}^{\times }{)}^2$ では平方数倍の違いを無視できるので
$$12=2^2\cdot 3\equiv 3,18=3^2\cdot 2\equiv 2,24=2^2\cdot 6\equiv 6,-2\equiv -2.$$
（実際 $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, $\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ である。）

手順 3: 生成する部分群を求める。 ${\mathbb{Q}}^{\times }/({\mathbb{Q}}^{\times }{)}^2$ は位数 $2$ の元だけからなる群なので、${\mathbb{F}}_2$ 上のベクトル空間と見られる。$(-1{)}^a{2}^b{3}^c$ を $(a,b,c)\in {\mathbb{F}}_2^3$ と書くと
$$3\mapsto (0,0,1),2\mapsto (0,1,0),6\mapsto (0,1,1),-2\mapsto (1,1,0).$$
$(0,1,1)=(0,1,0)+(0,0,1)$ なので $6$ は $2,3$ から生成され、残りの $(0,0,1),(0,1,0),(1,1,0)$ は一次独立である。よって生成される部分群は $⟨-1,2,3⟩$ で、${\mathbb{F}}_2$ 上の次元は $3$。

ここで $-1,2,3$ が平方類として独立であること、すなわち $(-1{)}^a{2}^b{3}^c$（$a,b,c\in \{0,1\}$）が有理数の平方になるのは $a=b=c=0$ のときだけであることは、平方数は正であり、素因数分解の各指数が偶数であることからわかる。

手順 4: 次数を求める。 部分群の位数は $2^3=8$ なので
$$[L:\mathbb{Q}]=8.$$
（$L=\mathbb{Q}(\sqrt{-1},\sqrt{2},\sqrt{3})=\mathbb{Q}(i,\sqrt{2},\sqrt{3})$ である。）

答えは $8$。

$\sqrt{12}=2\sqrt{3},\sqrt{18}=3\sqrt{2},\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ なので $L=\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{2},\sqrt{6},\sqrt{-2})=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{-2})$。$\sqrt{-2}=\sqrt{2}i$ より $i=\sqrt{-2}/\sqrt{2}\in L$ なので $L=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},i)$。$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ は次数 $4$ の実体（$\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ は、$(a+b\sqrt{2}{)}^2=3$ が有理数解をもたないことから分かる）。これは実体で $i\notin$ なので、$i$ の最小多項式 $x^2+1$ は $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 上既約で、$[L:\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})]=2$。よって $[L:\mathbb{Q}]=4\cdot 2=8$。検算: 平方因子なし整数 $-1,2,3$ の積の生成する ${\mathbb{Q}}^{\times }/({\mathbb{Q}}^{\times }{)}^2$ の部分群 $⟨-1,2,3⟩$ の位数は $2^3=8$（$-1,2,3$ は独立）で、多重 2 次拡大の次数 $8$ と一致する。