体論・ガロア理論の問題

$\alpha =\sqrt[5]{4}$、$L=\mathbb{Q}(\zeta ,\alpha )$ とおく。

$x^5-4$ の $\mathbb{Q}$ 上の既約性. $4=2^2$ なのでアイゼンシュタインの判定法はそのままでは使えない。そこで「素数 $p$ について、$a$ が $K$ の $p$ 乗でなければ $x^p-a$ は $K[x]$ で既約」を使う。

まず $4$ は有理数の $5$ 乗でない。実際 $(r/s{)}^5=4$（$r,s$ は整数、$s\ne 0$）とすると $r^5=4s^5$ で、両辺の素因数 $2$ の個数を比べると、左辺は $5$ の倍数、右辺は $5$ で割って $2$ 余る数となり矛盾する。

次に既約性を確かめる。$x^5-4$ の根は $\alpha {\zeta }^j$（$j=0,1,2,3,4$）である。$x^5-4=g(x)h(x)$ と $\mathbb{Q}[x]$ でモニックに分解し、$\mathrm{deg}g=k$、$0<k<5$ と仮定する。$g$ の根は $\alpha {\zeta }^{j_1},\dots ,\alpha {\zeta }^{j_k}$ なので、根の積（ノルム）$c={\alpha }^k{\zeta }^m$（$m=j_1+\cdots +j_k$）は $\pm g(0)\in \mathbb{Q}$ である。両辺を $5$ 乗すると $c^5={\alpha }^{5k}=4^k$。$\gcd (k,5)=1$ なので $uk+5v=1$ となる整数 $u,v$ があり、
$$4=4^{uk+5v}=(c^5{)}^u(4^v{)}^5=(c^u{4}^v{)}^5$$
となって、$4$ が有理数 $c^u{4}^v$ の $5$ 乗になる。これは矛盾なので、$x^5-4$ は $\mathbb{Q}$ 上既約であり、
$$[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=5.$$

$\mathbb{Q}(\zeta )$ の次数. $\zeta$ は $x^4+x^3+x^2+x+1$ の根で、これは $\mathbb{Q}$ 上既約（$x\to x+1$ と置き換えるとアイゼンシュタインの判定法が素数 $5$ で使える）なので $[\mathbb{Q}(\zeta ):\mathbb{Q}]=4$。

次数の積の公式. $\mathbb{Q}(\alpha )$ と $\mathbb{Q}(\zeta )$ はどちらも $L$ の部分体なので、
$$[L:\mathbb{Q}]=[L:\mathbb{Q}(\alpha )]\cdot 5=[L:\mathbb{Q}(\zeta )]\cdot 4$$
より $[L:\mathbb{Q}]$ は $5$ と $4$ の両方で割り切れ、$20$ の倍数である。一方、$L=\mathbb{Q}(\zeta )(\alpha )$ で $\alpha$ は $\mathbb{Q}(\zeta )$ 上 $x^5-4$ の根なので $[L:\mathbb{Q}(\zeta )]\le 5$、よって $[L:\mathbb{Q}]\le 4\cdot 5=20$。

以上より $[L:\mathbb{Q}]=20$ である（このとき $x^5-4$ は次数 $4$（$5$ と互いに素）の拡大 $\mathbb{Q}(\zeta )$ 上でも既約のままである）。

$\gamma =\sqrt[5]{4}=2^{2/5}$（正の実数）とおく。${\gamma }^3=2^{6/5}=2\cdot 2^{1/5}$ より $2^{1/5}={\gamma }^3/2\in \mathbb{Q}(\gamma )$。逆に $\gamma =(2^{1/5}{)}^2$ なので $\mathbb{Q}(\gamma )=\mathbb{Q}(2^{1/5})$。したがって $\mathbb{Q}(\zeta ,\sqrt[5]{4})=\mathbb{Q}(\zeta ,\sqrt[5]{2})$、これは $x^5-2$ の最小分解体。

• $x^5-2$ はアイゼンシュタイン判定法（$p=2$）で既約なので $[\mathbb{Q}(\sqrt[5]{2}):\mathbb{Q}]=5$。
• $\zeta$ は 5 次円分多項式 ${\Phi }_5$ の根で $[\mathbb{Q}(\zeta ):\mathbb{Q}]=4$。
• $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{2})\cap \mathbb{Q}(\zeta )$ の次数は 5 と 4 の公約数なので 1 であり、これらは互いに素な次数をもつ。よって $[\mathbb{Q}(\zeta ,\sqrt[5]{2}):\mathbb{Q}]$ は 5 と 4 の両方で割り切れるので 20 の倍数。一方 $[\mathbb{Q}(\sqrt[5]{2})(\zeta ):\mathbb{Q}(\sqrt[5]{2})]\le 4$ より全体の次数は $5\cdot 4=20$ 以下。

ゆえに次数は 20。

検算: 最小分解体のガロア群は $\mathbb{Z}/5⋊(\mathbb{Z}/5{)}^{\times }$（位数 $5\cdot 4=20$、フロベニウス群 $F_{20}$）で、位数 20 と一致する。