体論・ガロア理論の問題

既約性と分離性. $f(x)=x^4-2x^2-2$ は素数 $2$ についてアイゼンシュタインの判定法の条件（最高次以外の係数 $0,-2,0,-2$ がすべて $2$ で割り切れ、定数項 $-2$ が $4$ で割り切れない）を満たすので、$\mathbb{Q}$ 上既約である。標数 $0$ なので既約多項式は分離的であり、$f$ は相異なる $4$ つの根をもつ。

根の計算. $f(x)=0$ は $x^2$ についての $2$ 次方程式 $x^4-2x^2-2=0$ なので $$x^2=1\pm \sqrt{3}.$$ $1+\sqrt{3}>0$, $1-\sqrt{3}<0$ だから、$$\alpha =\sqrt{1+\sqrt{3}}(>0),\beta =i\sqrt{\sqrt{3}-1}$$ とおくと、$f$ の根は $\pm \alpha ,\pm \beta$ である。よって $L=\mathbb{Q}(\alpha ,\beta )$。

次数の計算. $\alpha$ の最小多項式は既約な $f$ なので $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=4$。$\mathbb{Q}(\alpha )\subset \mathbb{R}$ であるが、$\beta$ は実数でないので $\beta \notin \mathbb{Q}(\alpha )$。一方 ${\beta }^2=1-\sqrt{3}=2-{\alpha }^2\in \mathbb{Q}(\alpha )$ なので、$\beta$ は $\mathbb{Q}(\alpha )$ 上 $x^2-(2-{\alpha }^2)$ の根であり、$[\mathbb{Q}(\alpha ,\beta ):\mathbb{Q}(\alpha )]=2$。

（$\mathbb{Q}(\alpha )/\mathbb{Q}$ は $f$ の根 $\beta$ を含まないので正規でないことにも注意。）

以上より、次数の乗法性から $$[L:\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\alpha ,\beta ):\mathbb{Q}(\alpha )][\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=2\cdot 4=8.$$

$f(x)=x^4-2x^2-2$ は $x^2=1\pm \sqrt{3}$ と解けるので、根は $\pm \alpha ,\pm \beta$（$\alpha =\sqrt{1+\sqrt{3}}>0$ は実数、$\beta =\sqrt{1-\sqrt{3}}$ は純虚数）。

$f$ は素数 $2$ で Eisenstein の判定法を満たす（係数 $-2,-2$ は $2$ で割り切れ、定数項 $-2$ は $4$ で割り切れない）ので $\mathbb{Q}$ 上既約であり、$[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=4$。

${\alpha }^2{\beta }^2=(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=-2$ より、$\alpha \beta =\pm \sqrt{-2}$（$\beta$ を適切に選べば $\alpha \beta =i\sqrt{2}$）。よって $\beta =i\sqrt{2}/\alpha$ となり、$L=\mathbb{Q}(\alpha ,\beta )=\mathbb{Q}(\alpha ,i\sqrt{2})$。

$\mathbb{Q}(\alpha )\subset \mathbb{R}$ であり $i\sqrt{2}\notin \mathbb{R}$ なので $i\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}(\alpha )$。$i\sqrt{2}$ は $x^2+2$ の根だから $[L:\mathbb{Q}(\alpha )]=2$。

ゆえに $[L:\mathbb{Q}]=4\cdot 2=8$（ガロア群は二面体群 $D_4$）。

検算: ガロア群は 4 根の置換群で、既約な四次式なので位数は $4$ の倍数、分解三次式 $y^3+4y^2+8y$ の根 $0,-2\pm 2i$ のうち $0$ が有理根であり、群は $D_4$ の位数 $8$ と一致する。