体論・ガロア理論の問題

手順 1: 分解体を $\mathbb{Q}(\alpha ,{\zeta }_6)$ の形に書く。 $\alpha \in \mathbb{C}$ を ${\alpha }^6=-3$ を満たす数の 1 つとし、${\zeta }_6=\frac{1+\sqrt{-3}}{2}=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$ とおく。$x^6+3=x^6-(-3)$ の根は $\alpha {\zeta }_6^k(k=0,1,\dots ,5)$ なので
$$L=\mathbb{Q}(\alpha ,{\zeta }_6).$$

手順 2: $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]$ を求める。 $x^6+3$ は素数 $3$ についてアイゼンシュタインの判定法の条件（$3\mid 3$, $9\nmid 3$, 最高次係数 $1$）を満たすので既約。よって $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=6$。

手順 3: 重なり $\mathbb{Q}(\alpha )\cap \mathbb{Q}({\zeta }_6)$ を調べる。 $({\alpha }^3{)}^2={\alpha }^6=-3$ なので ${\alpha }^3=\pm \sqrt{-3}$ であり、$\sqrt{-3}\in \mathbb{Q}(\alpha )$。したがって
$${\zeta }_6=\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\in \mathbb{Q}(\alpha )$$
となり、$\mathbb{Q}({\zeta }_6)=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ はまるごと $\mathbb{Q}(\alpha )$ に含まれる（$\mathbb{Q}(\alpha )\cap \mathbb{Q}({\zeta }_6)=\mathbb{Q}({\zeta }_6)$）。

手順 4: 次数を求める。 手順 3 より $L=\mathbb{Q}(\alpha ,{\zeta }_6)=\mathbb{Q}(\alpha )$ なので
$$[L:\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=6.$$
重なりを無視して $6\cdot \phi (6)=12$ とすると誤りになる。

（ガロア群の元は $\sigma (\alpha )={\zeta }_6^b\alpha$ で決まり、$b\in \{0,\dots ,5\}$ の $6$ 通り。$\sigma ({\zeta }_6)$ は $\sigma ({\alpha }^3)={\zeta }_6^{3b}{\alpha }^3=(-1{)}^b{\alpha }^3$ から自動的に決まり、組 $(b,c)$ のうち $c\equiv (-1{)}^b(\mathrm{mod}6)$ のものだけが現れる。）

答えは $6$。

$x^6+3$ は素数 $3$ でアイゼンシュタインの判定法が使えるので $\mathbb{Q}$ 上既約。$\beta =3^{1/6}{e}^{\pi i/6}$ とおくと ${\beta }^6=3e^{\pi i}=-3$ で $\beta$ は根。根は $\beta {\zeta }_6^k(k=0,\dots ,5)$、ただし ${\zeta }_6=e^{2\pi i/6}$ である（${\zeta }_6^6=1$ なので $(\beta {\zeta }_6^k{)}^6=-3$ で、互いに異なる 6 個）。したがって最小分解体は $L=\mathbb{Q}(\beta ,{\zeta }_6)$。ここで ${\beta }^3=\sqrt{3}{e}^{\pi i/2}=\sqrt{3}i=\sqrt{-3}$ なので $\sqrt{-3}\in \mathbb{Q}(\beta )$。${\zeta }_6=\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$ なので ${\zeta }_6\in \mathbb{Q}(\beta )$。よって $L=\mathbb{Q}(\beta )$ で、$[L:\mathbb{Q}]=\mathrm{deg}(x^6+3)=6$。検算: $({\beta }^3{)}^2=-3$ を確かめると ${\beta }^6=-3$ と整合する。$L$ はすべての根を含み、$\mathbb{Q}(\beta )$ は次数 $6$ なので次数は $6$（ガロア群は位数 $6$）。