体論・ガロア理論の問題

$L/\mathbb{Q}$ はガロア拡大なので、ガロアの基本定理により、中間体 $K$ と $G$ の部分群 $H$ は $K\mapsto \mathrm{Gal}(L/K)$ で $1$ 対 $1$ に対応する。したがって、求める個数は $D_4$ の部分群の個数に等しい。

元の位数を調べる. $D_4$ の元は回転 $1,r,r^2,r^3$ と鏡映 $s,sr,s{r}^2,s{r}^3$ の $8$ 個である。$r$ の位数は $4$ なので、$r$ と $r^3$ の位数は $4$、$r^2$ の位数は $2$ である。また $(s{r}^k{)}^2=s{r}^{k}s{r}^k=ss{r}^{-k}{r}^k=1$ より、鏡映 $s{r}^k$ はすべて位数 $2$ である。

ラグランジュの定理より、部分群の位数は $8$ の約数 $1,2,4,8$ のどれかである。位数ごとに数える。

位数 $1$: $\{1\}$ の $1$ 個。

位数 $2$: 位数 $2$ の部分群は位数 $2$ の元 $1$ つで生成され、異なる元からは異なる部分群ができる。位数 $2$ の元は $r^2,s,sr,s{r}^2,s{r}^3$ の $5$ 個なので、$5$ 個。

位数 $4$: 位数 $4$ の群は巡回群 $\mathbb{Z}/4$ か $(\mathbb{Z}/2{)}^2$ のどちらかである。
- 巡回群のとき、位数 $4$ の元で生成される。位数 $4$ の元は $r,r^3$ だけで、どちらも同じ $⟨r⟩=\{1,r,r^2,r^3\}$ を生成するので $1$ 個。
- $(\mathbb{Z}/2{)}^2$ のとき、$1$ 以外の $3$ 元はどれも位数 $2$ で、互いに可換である。鏡映 $s{r}^i$ と $s{r}^j$（$i\ne j$）の積は $s{r}^{i}s{r}^j=r^{j-i}$ であり、これが位数 $2$ になるには $j-i\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ が必要である。よって鏡映を $2$ つ含むなら $\{1,r^2,s,s{r}^2\}$ か $\{1,r^2,sr,s{r}^3\}$ である（鏡映を $1$ つ以下しか含まないと、位数 $2$ の元が $r^2$ と鏡映 $1$ つで足りない）。この $2$ つは実際に部分群になる。よって $2$ 個。

合わせて位数 $4$ の部分群は $1+2=3$ 個。

位数 $8$: $D_4$ 自身の $1$ 個。

以上より、部分群の個数は
$$1+5+3+1=10$$
であり、中間体の個数も $10$ である。

ガロア理論の基本定理より、中間体 $K$ は $G$ の部分群 $H$ と $K=L^H$ により 1 対 1 に対応する。よって $D_4$ の部分群の個数を数えればよい。

$D_4=\{1,r,r^2,r^3,s,sr,s{r}^2,s{r}^3\}$（位数 8）。ラグランジュの定理より部分群の位数は 1, 2, 4, 8 のいずれか。

• 位数 1: $\{1\}$ の 1 個。
• 位数 2: 位数 2 の元が生成する。位数 2 の元は $r^2$ と 4 個の反転 $s,sr,s{r}^2,s{r}^3$ の計 5 個。$r$, $r^3$ は位数 4。よって 5 個。
• 位数 4: 指数 2 なので正規部分群。巡回群 $⟨r⟩$ の 1 個、クラインの四元群 $\{1,r^2,s,s{r}^2\}$ と $\{1,r^2,sr,s{r}^3\}$ の 2 個。位数 4 の元は $r,r^3$ だけで生成する巡回群は $⟨r⟩$ のみ。位数 4 の非巡回部分群は $r^2$ を含み位数 2 の反転 2 個を含むもので、$\{s,s{r}^2\}$ と $\{sr,s{r}^3\}$ の 2 通り（$s$ と $sr$ を含めると $r$ が生成され全体が巡回群 $⟨r⟩$ ではなく位数 8 になる）。計 3 個。
• 位数 8: $D_4$ 自身の 1 個。

合計 $1+5+3+1=10$ 個。

検算: $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{7})$ の共役類の観点でも、$D_4$ の部分群格子は 10 個（共役類の数は 8 = 1,2 種の位数2の共役類を含め…）として標準的に知られた値と一致する。