体論・ガロア理論の問題

分解体と次数. $\alpha =\sqrt[5]{3}$, $\zeta =e^{2\pi i/5}$ とおくと、$x^5-3$ の根は $\alpha {\zeta }^k$ $(k=0,1,2,3,4)$ なので $L=\mathbb{Q}(\alpha ,\zeta )$ である。$x^5-3$ はアイゼンシュタインの判定法（素数 $3$）により既約なので $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=5$、また $[\mathbb{Q}(\zeta ):\mathbb{Q}]=\phi (5)=4$ である。$[L:\mathbb{Q}]$ は $5$ と $4$ の両方で割り切れ、$[L:\mathbb{Q}]\le 5\cdot 4=20$ なので $[L:\mathbb{Q}]=20$。

ガロア群. $L/\mathbb{Q}$ はガロア拡大で、$G=\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の元は $\sigma (\zeta )={\zeta }^a$ $(a\in (\mathbb{Z}/5{)}^{\times })$, $\sigma (\alpha )=\alpha {\zeta }^b$ $(b\in \mathbb{Z}/5)$ で定まる。組 $(a,b)$ は $5\cdot 4=20$ 通りあり $|G|=20$ なので、すべて実現する。${\sigma }_{a,b}$ を ${\mathbb{F}}_5$ のアフィン変換 $t\mapsto at+b$ に対応させると（指数 $k$ への作用 $\alpha {\zeta }^k\mapsto \alpha {\zeta }^{ak+b}$）、$G$ はアフィン群 $\{t\mapsto at+b\}\cong \mathbb{Z}/5⋊(\mathbb{Z}/5{)}^{\times }$（位数 $20$ のフロベニウス群）と同型である。

元の位数.
- 恒等写像: $1$ 個
- $a=1,b\ne 0$（平行移動）: 位数 $5$、$4$ 個
- $a=-1$: $t\mapsto -t+b$ は位数 $2$、$5$ 個
- $a=2,3$: 位数 $4$、$10$ 個

部分群の分類. 位数は $20$ の約数 $1,2,4,5,10,20$ のいずれか。
- 位数 $1$: $1$ 個
- 位数 $2$: 位数 $2$ の元 $1$ つずつで生成されるので $5$ 個
- 位数 $4$: 巡回群なら位数 $4$ の元を $2$ 個ずつ含むので $10/2=5$ 個。クラインの四元群は、相異なる $2$ つの位数 $2$ の元の積 $(-t+b)\circ (-t+c)$ が $t\mapsto t+(b-c)$ で位数 $5$ になるので存在しない。よって $5$ 個
- 位数 $5$: シロー $5$ 部分群の個数は $1$ を法として $5$ と合同で $4$ を割り切るので $1$ 個（平行移動全体）
- 位数 $10$: 唯一のシロー $5$ 部分群 $N$ を含み、$H/N$ は $G/N\cong (\mathbb{Z}/5{)}^{\times }\cong \mathbb{Z}/4$ の位数 $2$ の部分群。これは $1$ つなので $H=\{t\mapsto \pm t+b\}$ の $1$ 個
- 位数 $20$: $1$ 個

合計 $14$ 個の部分群がある。

総和. ガロアの基本定理より、部分群 $H$ と中間体 $K=L^H$ は $1$ 対 $1$ に対応し、$[K:\mathbb{Q}]=20/|H|$ である。よって
$$S=1\cdot 20+5\cdot 10+5\cdot 5+1\cdot 4+1\cdot 2+1\cdot 1=20+50+25+4+2+1=102.$$
（参考: 次数 $5$ の中間体は $\mathbb{Q}(\alpha {\zeta }^k)$ の $5$ 個、次数 $4$ は $\mathbb{Q}(\zeta )$、次数 $2$ は $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ である。）

答えは $102$。

$\alpha =\sqrt[5]{3}$、$\zeta =e^{2\pi i/5}$ とすると $L=\mathbb{Q}(\alpha ,\zeta )$。$x^5-3$ はアイゼンシュタイン（$p=3$）で既約なので $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=5$、$[\mathbb{Q}(\zeta ):\mathbb{Q}]=4$、互いに素なので $[L:\mathbb{Q}]=20$。ガロア群は $G=\{x\mapsto ax+b:a\in (\mathbb{Z}/5{)}^{\times },b\in \mathbb{Z}/5\}\cong \mathbb{Z}/5⋊\mathbb{Z}/4$（フロベニウス群 $F_{20}$）。

ガロア対応で、位数 $h$ の部分群 $H$ に $[K:\mathbb{Q}]=20/h$ の中間体が対応する。$G$ の部分群を数える。
- 位数 1: 1 個 → 次数 20（$K=L$）
- 位数 2: 位数 2 の元は $a=-1$ のもの 5 個 → 部分群 5 個 → 次数 10 が 5 個
- 位数 4: 位数 4 の元は $a=2,3$ のもの 10 個、各巡回部分群に生成元 2 個 → 5 個 → 次数 5 が 5 個（$\mathbb{Q}({\zeta }^k\alpha )$）
- 位数 5: 正規部分群 $\{x\mapsto x+b\}$ の 1 個 → 次数 4（$\mathbb{Q}(\zeta )$）
- 位数 10: $\{x\mapsto \pm x+b\}$ の 1 個 → 次数 2（$\mathbb{Q}(\sqrt{5})$）
- 位数 20: 1 個 → 次数 1（$\mathbb{Q}$）
（位数 10 の部分群は位数 5 の部分群を含み、それは一意なので $\{a=\pm 1\}$ のもののみ。シローの定理とも合う。）

部分群の総数は $1+5+5+1+1+1=14$。
$$S=20+5\cdot 10+5\cdot 5+4+2+1=102$$

検算: 元の数 $1+5+10+4=20$（単位元、位数 2、位数 4、位数 5 の非自明元 4 個）で $|G|$ と一致。