この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

代数的整数論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学代数的整数論

多項式 $f (x) = x^{2} + x + 2 \in Q [x]$ を考える。素数 $p$ に対し $Q_{p}$ を $p$ 進数体とする。 $30$ 未満の素数 $p$ のうち、 $f (x) = 0$ をみたす $x \in Q_{p}$ が存在するものをすべて求めよ。

この問題で使うもの

ヘンゼルの補題と p 進数での根（説明と入口の問題）
p 進付値と p 進収束（説明と入口の問題）
平方剰余の相互法則（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（42 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$p = 2$ と奇素数 $p$ に分けて考える。奇素数なら平方完成して「 $- 7$ が $Q_{p}$ で平方数か」に帰着させる。

ヒント 2

単数 $u \in Z_{p}^{\times}$ （ $p$ 奇素数）が $Q_{p}$ で平方数であることは、 $u mod p$ が平方剰余であることと同値（ヘンゼルの補題）。付値が奇数の元は平方数でない。

ヒント 3

相互法則から $(\frac{- 7}{p}) = (\frac{p}{7})$ 。 $p = 2$ では $f (x) \equiv x (x + 1) (mod 2)$ で $f^{'}$ が奇数になることを使う。

答えと解説

答えを見る

{2, 11, 23, 29}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

$f$ の根が $Q_{p}$ にあれば、 $f$ はモニックで整数係数なので根は $Z_{p}$ 上整、すなわち $Z_{p}$ に属する。 $f$ の判別式は $1 - 8 = - 7$ である。

$p = 2$ の場合. $f (x) \equiv x^{2} + x = x (x + 1) (mod 2)$ なので $x \equiv 0, 1 (mod 2)$ が $mod 2$ の根で、 $f^{'} (x) = 2 x + 1$ は常に奇数（ $f^{'} (x) \neq \equiv 0 (mod 2)$ ）。ヘンゼルの補題により、それぞれ $Z_{2}$ の根に一意に持ち上がる。よって $p = 2$ では根が存在する（ $2$ 個）。

$p$ が奇素数の場合. $2$ は $Z_{p}$ の単数なので平方完成でき、
$f (x) = 0 ⟺ (2 x + 1)^{2} = - 7.$
よって根が存在する $⟺$ $- 7$ が $Q_{p}$ で平方数。

$p = 7$ : $v_{7} (- 7) = 1$ は奇数なので $- 7$ は $Q_{7}$ の平方数ではない（平方数の付値は偶数）。根は存在しない。
$p \neq = 7$ : $- 7 \in Z_{p}^{\times}$ で、 $g (y) = y^{2} + 7$ に対し $g^{'} (y) = 2 y$ は $y \neq \equiv 0$ なら $p$ で割り切れないから、ヘンゼルの補題により「 $- 7$ が $Q_{p}$ で平方数 $⟺$ $- 7$ が $mod p$ で平方剰余」すなわち $(\frac{- 7}{p}) = 1$ 。

平方剰余の相互法則より
$(\frac{- 7}{p}) = (\frac{- 1}{p}) (\frac{7}{p}) = (- 1)^{\frac{p - 1}{2}} \cdot (\frac{p}{7}) (- 1)^{\frac{p - 1}{2} \cdot \frac{7 - 1}{2}} = (\frac{p}{7}) .$
$7$ を法とする平方剰余は $1, 2, 4$ なので、条件は $p \equiv 1, 2, 4 (mod 7)$ 。

$30$ 未満の奇素数 $p \neq = 7$ について $p mod 7$ を調べると
$3 \to 3, 5 \to 5, 11 \to 4, 13 \to 6, 17 \to 3, 19 \to 5, 23 \to 2, 29 \to 1.$
よって条件をみたすのは $11, 23, 29$ 。

（確認: $f (4) = 22 \equiv 0 (mod 11)$ , $f (13) = 184 = 8 \cdot 23$ , $1 4^{2} = 196 \equiv - 7 (mod 29)$ 。）

以上より求める素数は $2, 11, 23, 29$ 。

答え: ${2, 11, 23, 29}$

別解

判別式は $D = 1 - 8 = - 7$ 。奇素数 $p \neq = 7$ では、 $f$ が $Q_{p}$ に根をもつことと $- 7$ が $F_{p}$ で平方剰余であることが同値（ヘンゼルの補題、 $f^{'} (x) = 2 x + 1$ で重根なし）。平方剰余の相互法則より $(\frac{- 7}{p}) = (\frac{p}{7})$ 。 $7$ を法とする平方剰余は $1, 2, 4$ 。

$p = 2$ ： $f \equiv x (x + 1) (mod 2)$ は単根 $0, 1$ をもち、 $f^{'} (x) = 2 x + 1$ は奇数なのでヘンゼルの補題により根が持ち上がる。よって存在する（ $- 7 \equiv 1 (mod 8)$ とも整合）。
$p = 3$ ： $3 mod 7 = 3$ は非剰余。なし（実際 $x^{2} + x + 2 \equiv x^{2} + x - 1$ は mod 3 で根なし）。
$p = 5$ ： $5$ は非剰余。なし。
$p = 7$ ： $D = - 7$ の $7$ 進付値は $1$ で奇数なので平方でない。 $f$ の根は $(- 1 \pm - 7) /2$ で $- 7 \in / Q_{7}$ 。なし。
$p = 11$ ： $11 \equiv 4$ 剰余。あり（ $- 7 \equiv 4 = 2^{2}$ ）。
$p = 13$ ： $13 \equiv 6$ 非剰余。なし。
$p = 17$ ： $17 \equiv 3$ 非剰余。なし。
$p = 19$ ： $19 \equiv 5$ 非剰余。なし。
$p = 23$ ： $23 \equiv 2$ 剰余。あり（ $- 7 \equiv 16 = 4^{2}$ ）。
$p = 29$ ： $29 \equiv 1$ 剰余。あり（ $- 7 \equiv 22 \equiv 1 4^{2} = 196$ ）。

検算： $p = 11$ で $x = 3$ ： $9 + 3 + 2 = 14 \neq \equiv 0$ ではなく、 $x^{2} + x + 2 \equiv 0 (mod 11)$ は $x = (- 1 \pm 2) /2$ より $x = 1/2 = 6$ ： $36 + 6 + 2 = 44 \equiv 0$ ✓。

答え： ${2, 11, 23, 29}$ 。

代数的整数論の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題