代数的整数論

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-15})$ とし、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環（$K$ に含まれる代数的整数全体）とする。${\mathcal{O}}_K$ の整数基底 ${\omega }_1,{\omega }_2$ と、$K$ から $\mathbb{C}$ への 2 つの埋め込み ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ を用いて、$K$ の判別式を
$$d_K=\det {\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_1({\omega }_1)& {\sigma }_1({\omega }_2)\\ {\sigma }_2({\omega }_1)& {\sigma }_2({\omega }_2)\end{array}\right)}^2$$
で定める。$d_K$ の値を求めよ。

$5$ 進数体 ${\mathbb{Q}}_5$ において、級数
$$\sum _{n=0}^{\infty }2\cdot 5^n=2+2\cdot 5+2\cdot 5^2+2\cdot 5^3+\cdots$$
は $5$ 進絶対値 $|x{|}_5=5^{-v_5(x)}$ に関して収束する。その和は有理数である。この和を求めよ。

$f(x)=x^3+x+1$ とし、$\alpha$ を $f(x)=0$ の 1 つの根、$K=\mathbb{Q}(\alpha )$ とする。$K$ の整数環を ${\mathcal{O}}_K$ とし、${\mathcal{O}}_K$ の整数基底 ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3$ と $K$ から $\mathbb{C}$ への 3 つの埋め込み ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$ を用いて、$K$ の判別式を $d_K=\det {\left({\sigma }_i({\omega }_j)\right)}^2$ で定める。$d_K$ の値を求めよ。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ とし、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。$3\le p\le 19$ を満たす奇素数 $p$ のうち、$p{\mathcal{O}}_K$ が相異なる 2 つの素イデアルの積に分解する（$p$ が $K$ で分解する）ものをすべて求めよ。

整数係数の 2 元 2 次形式 $f(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2$ で、判別式が $b^2-4ac=-31$、$a>0$（したがって正定値）、$\gcd (a,b,c)=1$（原始的）であるものを考える。このような形式 $f$ が簡約であるとは、
$$|b|\le a\le c,\text{かつ}|b|=a\text{または}a=c\text{のときは}b\ge 0$$
が成り立つことをいう。判別式 $-31$ の正定値原始的な簡約形式 $(a,b,c)$ の個数、すなわち虚 2 次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-31})$ の類数 $h(-31)$ を求めよ。

実 2 次体 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{7})$ の整数環 ${\mathcal{O}}_K$ の単数群 ${\mathcal{O}}_K^{\times }$ は $\{\pm 1\}\times ⟨\epsilon ⟩$ の形に書ける。ここで $\epsilon$ は $\epsilon >1$ をみたす基本単数（$1$ より大きい単数のうち最小のもの）とする。$\epsilon$ を $a+b\sqrt{7}$（$a,b$ は整数）の形で求めよ。

$f(x)=x^2+1\in {\mathbb{Z}}_5[x]$ とする。$5$ 進整数環 ${\mathbb{Z}}_5$ における $f$ の根 $\alpha$ のうち、$\alpha \equiv 2(\mathrm{mod}5)$ をみたすものがただ 1 つ存在する。$\alpha \equiv n(\mathrm{mod}125)$ をみたす整数 $n$（$0\le n\le 124$）を求めよ。

$\alpha$ を多項式 $f(x)=x^3+x+1$ の根の 1 つとし、$K=\mathbb{Q}(\alpha )$ とする。$f$ は $\mathbb{Q}$ 上既約で、その判別式は $-31$ であり、$K$ の整数環は ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\alpha ]$ であることが知られている。$3{\mathcal{O}}_K$ を ${\mathcal{O}}_K$ の素イデアルの積に分解したとき、現れる相異なる素イデアルのノルムを小さい順に並べた組を求めよ。

虚 2 次体 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$ を考える。その整数環は ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\omega ]$（$\omega =\frac{1+\sqrt{-23}}{2}$）、判別式は $d_K=-23$ である。${\mathcal{O}}_K$ の $0$ でないイデアル $\mathfrak{a}$ のノルムを $N(\mathfrak{a})=|{\mathcal{O}}_K/\mathfrak{a}|$ で定める。ノルムが $6$ である ${\mathcal{O}}_K$ のイデアルの個数と、そのうち単項イデアルであるものの個数を、この順に組で求めよ。

$L=\mathbb{Q}(i,\sqrt{3})$ とし、${\mathcal{O}}_L$ をその整数環とする（$i$ は虚数単位）。素数 $p$ が $L$ で完全分解するとは、$p{\mathcal{O}}_L$ が相異なる $[L:\mathbb{Q}]$ 個の素イデアルの積になること（すなわち $e=f=1$, $g=[L:\mathbb{Q}]$）とする。$100$ 以下の素数のうち、$L$ で完全分解するものをすべて求めよ。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-6})$ とする。ミンコフスキーの限界を用いて、$K$ の類数 $h_K$ を求めよ。

${\zeta }_{13}=\cos \frac{2\pi }{13}+i\sin \frac{2\pi }{13}$ とし、$L=\mathbb{Q}({\zeta }_{13})$ とする。$L$ の整数環で素数 $3$ が $3{\mathcal{O}}_L=({\mathfrak{p}}_1\cdots {\mathfrak{p}}_g{)}^e$（${\mathfrak{p}}_j$ は相異なる素イデアルで、剰余次数はすべて $f$）と分解するとき、組 $(e,f,g)$ をこの順に求めよ。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-26})$ とし、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。$K$ の類数 $h_K$（${\mathcal{O}}_K$ のイデアル類群の位数）を求めよ。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-14})$ とし、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。${\mathcal{O}}_K$ のイデアルのうち、ノルムが $15$ であり、かつ単項イデアルであるものの個数を求めよ。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-26})$ とし、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環、$d_K$ を $K$ の判別式（${\mathcal{O}}_K$ の $\mathbb{Z}$ 上の判別式）、$h_K$ を $K$ の類数（${\mathcal{O}}_K$ のイデアル類群の位数）とする。組 $(d_K,h_K)$ をこの順に求めよ。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ とし、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。素数 $p$ が $K$ で完全分解するとは、$p{\mathcal{O}}_K$ が相異なる $[K:\mathbb{Q}]=4$ 個の素イデアルの積に分解することをいう。$100$ 以下の素数 $p$ のうち、$K$ で完全分解するものの個数を求めよ。

${\mathbb{Q}}_2$ を $2$ 進数体とする。整数 $a$ で $1\le a\le 100$ をみたすもののうち、${\mathbb{Q}}_2$ の中で平方数であるもの（すなわち $x^2=a$ をみたす $x\in {\mathbb{Q}}_2$ が存在するもの）の個数を求めよ。

整数係数の 2 元 2 次形式 $f(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2$ が簡約であるとは、$|b|\le a\le c$ をみたし、さらに $|b|=a$ または $a=c$ のときは $b\ge 0$ であることとする。判別式 $b^2-4ac=-71$ をもつ正定値の簡約 2 次形式の個数を数えることにより、虚 2 次体 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-71})$ の類数 $h_K$（整数環 ${\mathcal{O}}_K$ のイデアル類群の位数）を求めよ。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-21})$ とし、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。$K$ の類数 $h_K$（${\mathcal{O}}_K$ のイデアル類群の位数）を求めよ。ただし、$h_K$ は判別式 $d_K$ の原始的（$\gcd (a,b,c)=1$）な正定値の整数係数 2 元 2 次形式 $a{x}^2+bxy+c{y}^2$（$a>0$）のうち、簡約なもの、すなわち $$|b|\le a\le c,|b|=a\text{ または }a=c\text{ のときは }b\ge 0$$ をみたすものの個数に等しいことを用いてよい。

$f(x)=x^3-2x-2\in \mathbb{Z}[x]$ とし、$\alpha \in \mathbb{C}$ を $f$ の根の 1 つ、$K=\mathbb{Q}(\alpha )$、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。

${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\alpha ]$ であることを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- $K$ が $\mathbb{Q}$ 上 3 次ならば、$\mathbb{Z}[\alpha ]\subset {\mathcal{O}}_K$ はともに階数 3 の自由 $\mathbb{Z}$ 加群で、指数 $m=[{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]]$ は有限であり、$\mathrm{disc}(1,\alpha ,{\alpha }^2)=m^2{d}_K$ が成り立つ（$d_K\in \mathbb{Z}$ は $K$ の判別式）。
- $\alpha$ が $x^3+ax+b$（$a,b\in \mathbb{Z}$、既約）の根のとき、$\mathrm{disc}(1,\alpha ,{\alpha }^2)=-4a^3-27b^2$。
- 代数的整数 $\beta \in K$ のノルム $N_{K/\mathbb{Q}}(\beta )$ は整数であり、ノルムは乗法的である。

${\mathbb{Q}}_3$ を $3$ 進数体とし、${\mathbb{Q}}_3^{\times }$ をその乗法群とする。$6$ 乗元全体のなす部分群
$$({\mathbb{Q}}_3^{\times }{)}^6=\{x^6\mid x\in {\mathbb{Q}}_3^{\times }\}$$
による剰余群 ${\mathbb{Q}}_3^{\times }/({\mathbb{Q}}_3^{\times }{)}^6$ の位数を求めよ。

$\alpha$ を多項式 $f(x)=x^3+x^2-4$ の実根とする。$K=\mathbb{Q}(\alpha )$ とおき、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環、$d_K$ を $K$ の判別式（${\mathcal{O}}_K$ の $\mathbb{Z}$ 上の判別式）とする。指数 $[{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]]$ と判別式 $d_K$ を、この順に組 $([{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]],d_K)$ の形で求めよ。

整数係数の 2 元 2 次形式 $f(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2$ を $(a,b,c)$ と表し、その判別式を $D=b^2-4ac$ とする。$\gcd (a,b,c)=1$ のとき $f$ は原始的であるという。$D<0$ かつ $a>0$ のとき、$f$ が簡約であるとは
$$|b|\le a\le c$$
をみたし、さらに $|b|=a$ または $a=c$ のときは $b\ge 0$ であることとする。

負の整数 $D$ に対し、判別式 $D$ の原始的かつ簡約な正定値 2 元 2 次形式 $(a,b,c)$（$a>0$）の個数を $h(D)$ とおく。このとき
$$\sum _{n=1}^{15}h(-4n)$$
の値を求めよ。

${\mathbb{Z}}_3$ を $3$ 進整数環とする。$x^3=10$ をみたす $x\in {\mathbb{Z}}_3$ はただ $1$ つ存在する。この $x$ について、
$$x\equiv a(\mathrm{mod}{3}^6{\mathbb{Z}}_3),0\le a<3^6$$
をみたす整数 $a$ を求めよ。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{61})\subset \mathbb{R}$ とし、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。単数群 ${\mathcal{O}}_K^{\times }$ の元で $1$ より大きいもののうち最小のもの（基本単数）を $\epsilon$ とする。$\epsilon$ を求めよ。

${\mathbb{Q}}_3$ を $3$ 進数体とし、多項式
$$f(x)=x^3+x^2+3x+9\in {\mathbb{Q}}_3[x]$$
を考える。$f(x)=0$ をみたす $x\in {\mathbb{Q}}_3$ の個数を求めよ。

$\alpha$ を $x^3-x-1=0$ の根の 1 つとし、$K=\mathbb{Q}(\alpha )$、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。ノルム $N(\mathfrak{p})=\#({\mathcal{O}}_K/\mathfrak{p})$ が $30$ 以下である ${\mathcal{O}}_K$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ の個数を求めよ。

$\alpha$ を ${\alpha }^3=28$ をみたす実数とし、$K=\mathbb{Q}(\alpha )$、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。$\mathbb{Z}[\alpha ]$ は ${\mathcal{O}}_K$ の部分環であり、ともに階数 $3$ の自由 $\mathbb{Z}$ 加群である。指数 $[{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]]$（加法群としての指数）を求めよ。

多項式 $f(x)=x^2+x+2\in \mathbb{Q}[x]$ を考える。素数 $p$ に対し ${\mathbb{Q}}_p$ を $p$ 進数体とする。$30$ 未満の素数 $p$ のうち、$f(x)=0$ をみたす $x\in {\mathbb{Q}}_p$ が存在するものをすべて求めよ。

整数係数の 2 元 2 次形式 $f(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2$ が、判別式 $b^2-4ac=-116$、$a>0$、$\gcd (a,b,c)=1$ をみたし、さらに
$$|b|\le a\le c,(|b|=a\text{ または }a=c\text{ のときは }b\ge 0)$$
をみたすとき、$f$ を判別式 $-116$ の簡約された原始正定値形式とよぶ。このような $(a,b,c)$ の個数（すなわち類数 $h(-116)$）を求めよ。

${\zeta }_{20}=e^{2\pi i/20}$ とし、$K=\mathbb{Q}({\zeta }_{20})$、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。${\mathcal{O}}_K$ の $0$ でない素イデアル $\mathfrak{p}$ に対し、そのノルムを $N(\mathfrak{p})=\#({\mathcal{O}}_K/\mathfrak{p})$ と定める。$N(\mathfrak{p})\le 100$ をみたす ${\mathcal{O}}_K$ の $0$ でない素イデアル $\mathfrak{p}$ の個数を求めよ。

$R=\mathbb{Z}[\sqrt{6}]=\{x+y\sqrt{6}\mid x,y\in \mathbb{Z}\}$ を実数体 $\mathbb{R}$ の部分環とみなし、$R^{\times }$ を $R$ の単数群（乗法について可逆な元全体）とする。$\epsilon =5+2\sqrt{6}$ とおく。

$$R^{\times }=\{\pm {\epsilon }^n\mid n\in \mathbb{Z}\}$$
であることを証明せよ。

$\alpha =\sqrt[3]{2}$ を実数の立方根とし、$K=\mathbb{Q}(\alpha )$、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。次の事実は証明なしに用いてよい。

• ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\alpha ]$ である。
• $\epsilon =1+\alpha +{\alpha }^2$ は $K$ の基本単数であり、${\mathcal{O}}_K^{\times }=\{\pm 1\}\times ⟨\epsilon ⟩$ である。

環 $R=\mathbb{Z}+35{\mathcal{O}}_K$（${\mathcal{O}}_K$ の導手 $35$ の整環）の単数群を $R^{\times }$ とする。指数 $[{\mathcal{O}}_K^{\times }:R^{\times }]$ を求めよ。

整数係数の 2 元 2 次形式 $g(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2$ を、係数の組 $(a,b,c)$ で表す。$g$ が原始的であるとは $\gcd (a,b,c)=1$ であることをいう。$g$ が簡約であるとは、$a>0$ かつ
$$|b|\le a\le c,(|b|=a\text{ または }a=c\text{ のときは }b\ge 0)$$
をみたすことをいう。負の整数 $D$ に対し、判別式 $b^2-4ac=D$ をもつ原始的な簡約形式 $(a,b,c)$ の個数を $h(D)$ と書く。

$h(-3n^2)=6$ をみたす正の整数 $n$ をすべて求めよ。

$\omega =e^{2\pi i/3}$ とし、$\sqrt[3]{3}$ を $3$ の実数の $3$ 乗根とする。$L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3},\omega )$ とおく。$L$ は $x^3-3$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体で、$[L:\mathbb{Q}]=6$ である。${\mathcal{O}}_L$ を $L$ の整数環とし、${\mathcal{O}}_L$ の $0$ でない素イデアル $\mathfrak{P}$ に対して、そのノルムを剰余環の元の個数 $N(\mathfrak{P})=\#({\mathcal{O}}_L/\mathfrak{P})$ で定める。$N(\mathfrak{P})\le 50$ をみたす ${\mathcal{O}}_L$ の $0$ でない素イデアル $\mathfrak{P}$ は全部でいくつあるか。ただし、同じ素数 $p$ の上にある相異なる素イデアルはそれぞれ別々に数える。

$f(x)=x^3-3x+2\in \mathbb{Z}[x]$ とする。合同式
$$f(x)\equiv 0(\mathrm{mod}{3}^9)$$
をみたす $x\in \mathbb{Z}/3^9\mathbb{Z}$ の個数を求めよ。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{13})$ とし、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。$K$ は $\sqrt{13}>0$ となるように実数体 $\mathbb{R}$ に埋め込んで考える。${\mathcal{O}}_K$ の部分環（整環）
$$\mathcal{O}=\mathbb{Z}[3\sqrt{13}]=\{a+b\cdot 3\sqrt{13}\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$$
の単数群 ${\mathcal{O}}^{\times }$ は、ある実数 $\eta >1$ によって ${\mathcal{O}}^{\times }=\{\pm {\eta }^n\mid n\in \mathbb{Z}\}$ と表され、このような $\eta$ はただ $1$ つに定まる。$\eta =x+y\sqrt{13}$（$x,y$ は有理数）と表すとき、組 $(x,y)$ を求めよ。

$\alpha =\sqrt[4]{2}$（正の実数）、$i=\sqrt{-1}$ とし、$L=\mathbb{Q}(\alpha ,i)$（$x^4-2$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体）、${\mathcal{O}}_L$ を $L$ の整数環とする。素数 $p$ に対し、$p$ を含む ${\mathcal{O}}_L$ の素イデアルの個数を $g_p$ とおく（すなわち $p{\mathcal{O}}_L$ の素イデアル分解に現れる相異なる素イデアルの個数）。
$$S=\sum _{\begin{array}{c}p:\text{素数}\\ 3\le p<100\end{array}}{g}_p$$
を求めよ。

$\alpha \in \mathbb{C}$ を多項式
$$f(x)=x^3+5x^2+10x+20$$
の根の 1 つとし、$K=\mathbb{Q}(\alpha )$、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。$K$ の判別式 $d_K$（${\mathcal{O}}_K$ の $\mathbb{Z}$ 上の判別式）を求めよ。

$p$ を素数とし、${\mathbb{Q}}_p$ を $p$ 進数体とする。${\mathbb{Q}}_p$ における級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }n!(n^3+n^2+5n)$$
は収束し、その和 $S$ は有理数である。$S$ を求めよ。

多項式 $f(x)=x^3-x-1\in \mathbb{Q}[x]$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体を $L$ とする。素数 $p$ が $L$ で完全分解する（$p{\mathcal{O}}_L$ が相異なる $[L:\mathbb{Q}]$ 個の素イデアルの積になる）ような素数 $p$ のうち、最小のものを求めよ。

$\alpha$ を ${\alpha }^3=10$ をみたす実数とし、$K=\mathbb{Q}(\alpha )$、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。${\mathcal{O}}_K$ の $0$ でない素イデアル $\mathfrak{p}$ に対し、そのノルムを $N(\mathfrak{p})=\#({\mathcal{O}}_K/\mathfrak{p})$ と定める。$N(\mathfrak{p})<30$ をみたす ${\mathcal{O}}_K$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ の個数を求めよ。

$\zeta =e^{2\pi i/105}$ とし、$K=\mathbb{Q}(\zeta +{\zeta }^{-1})$（$\mathbb{Q}(\zeta )$ の最大実部分体）、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。$K/\mathbb{Q}$ はガロア拡大なので、$3{\mathcal{O}}_K$ の素イデアル分解は
$$3{\mathcal{O}}_K=({\mathfrak{p}}_1\cdots {\mathfrak{p}}_g{)}^e,\#({\mathcal{O}}_K/{\mathfrak{p}}_i)=3^f(i=1,\dots ,g)$$
の形に書ける（${\mathfrak{p}}_1,\dots ,{\mathfrak{p}}_g$ は相異なる素イデアル）。分岐指数 $e$、剰余次数 $f$、素イデアルの個数 $g$ をこの順に組 $(e,f,g)$ で答えよ。

$\alpha \in \mathbb{C}$ を多項式 $$f(x)=x^3-x-4$$ の根の 1 つとし、$K=\mathbb{Q}(\alpha )$、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。$K$ の判別式 $d_K$（${\mathcal{O}}_K$ の $\mathbb{Z}$ 上の整数基底に関する判別式）を求めよ。

${\mathbb{Z}}_5$ を $5$ 進整数環とし、数列 $(a_n{)}_{n\ge 0}$ を $$a_n=2027^{5^n}(n=0,1,2,\dots )$$ で定める。この数列は $5$ 進位相で ${\mathbb{Z}}_5$ のある元 $\alpha$ に収束する。$$\alpha \equiv r(\mathrm{mod}{5}^4{\mathbb{Z}}_5),0\le r<5^4$$ をみたす整数 $r$ を求めよ。

$p$ を素数とし、${\mathbb{Q}}_p$ を $p$ 進数体、${\mathbb{Z}}_p$ を $p$ 進整数環、$v_p$ を ${\mathbb{Q}}_p$ 上の $p$ 進付値（$v_p(0)=\infty$）、$|x{|}_p=p^{-v_p(x)}$ とする。ここで体の自己同型とは、全単射な環準同型 $\sigma :{\mathbb{Q}}_p\to {\mathbb{Q}}_p$（$\sigma (1)=1$）のことであり、$\sigma$ の連続性は仮定しない。

${\mathbb{Q}}_p$ の体の自己同型は恒等写像に限ることを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- （ヘンゼルの補題）$f(t)\in {\mathbb{Z}}_p[t]$ と $a\in {\mathbb{Z}}_p$ が $|f(a){|}_p<|f^{\prime }(a){|}_p^2$ を満たすならば、$f(\alpha )=0$ となる $\alpha \in {\mathbb{Z}}_p$ が存在する。
- $\mathbb{Q}$ は ${\mathbb{Q}}_p$ の中で稠密である。
- $v_p$ の基本性質 $v_p(xy)=v_p(x)+v_p(y)$、$v_p(x+y)\ge \min (v_p(x),v_p(y))$（$v_p(x)\ne v_p(y)$ のときは等号）、および ${\mathbb{Z}}_p=\{x\mid v_p(x)\ge 0\}$、${\mathbb{Z}}_p^{\times }=\{x\mid v_p(x)=0\}$、${\mathbb{Z}}_p/p^n{\mathbb{Z}}_p\cong \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$。

整数係数の 2 元 2 次形式 $f(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2$ を $(a,b,c)$ と書き、その判別式を $b^2-4ac$ とする。$(a,b,c)$ が原始的であるとは $\gcd (a,b,c)=1$ であること、正定値であるとは判別式が負かつ $a>0$ であることとする。正定値形式 $(a,b,c)$ が簡約であるとは
$$|b|\le a\le c,\text{かつ}(|b|=a\text{または}a=c\text{ならば}b\ge 0)$$
が成り立つことと定める。正の整数 $n$ に対し、判別式 $-4n$ の原始的正定値形式の ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ による同値類の個数を $h(-4n)$ とする。

次の事実は証明なしに用いてよい：$h(-4n)$ は、判別式 $-4n$ の原始的な簡約形式の個数に等しい。

$p$ を奇素数とする。$h(-4p)$ が偶数であるための必要十分条件は $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ であることを証明せよ。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ とし、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環（$K$ に含まれる代数的整数全体）とする。素数 $p$ が $K$ で惰性するとは、イデアル $p{\mathcal{O}}_K$ が ${\mathcal{O}}_K$ の素イデアルであることをいう。

どの素数 $p$ も $K$ で惰性しないこと、すなわち任意の素数 $p$ に対して $p{\mathcal{O}}_K$ は素イデアルでないことを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- ${\mathcal{O}}_K$ はデデキント整域であり、$0$ でない真のイデアルは素イデアルの積に（順序を除き）一意に分解する。
- 代数的数 $\alpha$ が代数的整数であるための必要十分条件は、$\alpha$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式（モニック）の係数がすべて整数であることである。
- 奇素数 $p$ と $p$ で割り切れない整数 $a,b$ に対し、ルジャンドル記号は $\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)$ を満たす。