代数的整数論の問題

$p$ を素数とし、${\mathbb{Q}}_p$ を $p$ 進数体とする。${\mathbb{Q}}_p$ における級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }n!(n^3+n^2+5n)$$
は収束し、その和 $S$ は有理数である。$S$ を求めよ。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-6})$ とする。ミンコフスキーの限界を用いて、$K$ の類数 $h_K$ を求めよ。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-15})$ とし、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環（$K$ に含まれる代数的整数全体）とする。${\mathcal{O}}_K$ の整数基底 ${\omega }_1,{\omega }_2$ と、$K$ から $\mathbb{C}$ への 2 つの埋め込み ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ を用いて、$K$ の判別式を
$$d_K=\det {\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_1({\omega }_1)& {\sigma }_1({\omega }_2)\\ {\sigma }_2({\omega }_1)& {\sigma }_2({\omega }_2)\end{array}\right)}^2$$
で定める。$d_K$ の値を求めよ。

$f(x)=x^3+x+1$ とし、$\alpha$ を $f(x)=0$ の 1 つの根、$K=\mathbb{Q}(\alpha )$ とする。$K$ の整数環を ${\mathcal{O}}_K$ とし、${\mathcal{O}}_K$ の整数基底 ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3$ と $K$ から $\mathbb{C}$ への 3 つの埋め込み ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$ を用いて、$K$ の判別式を $d_K=\det {\left({\sigma }_i({\omega }_j)\right)}^2$ で定める。$d_K$ の値を求めよ。

虚 2 次体 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$ を考える。その整数環は ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\omega ]$（$\omega =\frac{1+\sqrt{-23}}{2}$）、判別式は $d_K=-23$ である。${\mathcal{O}}_K$ の $0$ でないイデアル $\mathfrak{a}$ のノルムを $N(\mathfrak{a})=|{\mathcal{O}}_K/\mathfrak{a}|$ で定める。ノルムが $6$ である ${\mathcal{O}}_K$ のイデアルの個数と、そのうち単項イデアルであるものの個数を、この順に組で求めよ。