代数的整数論の問題

ステップ 1: 判別式とミンコフスキーの限界. $-6\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ なので ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$、判別式は $d_K=4\cdot (-6)=-24$ である。$K$ は虚 2 次体（$n=2$, $r_2=1$）なので
$$M_K=\frac{2}{\pi }\sqrt{|d_K|}=\frac{2}{\pi }\sqrt{24}=\frac{4\sqrt{6}}{\pi }\approx \frac{9.80}{3.14}\approx \mathrm{3.12.}$$
よって類群は、ノルムが $3$ 以下の素イデアル、すなわち $2$ と $3$ の上にある素イデアルの類で生成される。

ステップ 2: $2$ と $3$ の分解. $2\mid d_K$, $3\mid d_K$ なので、どちらも分岐する。
$$2{\mathcal{O}}_K={\mathfrak{p}}_2^2,{\mathfrak{p}}_2=(2,\sqrt{-6}),3{\mathcal{O}}_K={\mathfrak{p}}_3^2,{\mathfrak{p}}_3=(3,\sqrt{-6}),$$
$N({\mathfrak{p}}_2)=2$, $N({\mathfrak{p}}_3)=3$ である。

ステップ 3: 単項性の判定. $\alpha =a+b\sqrt{-6}$（$a,b\in \mathbb{Z}$）のノルムは $N(\alpha )=a^2+6b^2$ である。
- $a^2+6b^2=2$ は整数解をもたない（$b\ne 0$ なら左辺 $\ge 6$、$b=0$ なら $a^2=2$ で不可）。よって ${\mathfrak{p}}_2$ は単項でない。一方 ${\mathfrak{p}}_2^2=(2)$ は単項なので、$[{\mathfrak{p}}_2]$ の位数は $2$。
- 同様に $a^2+6b^2=3$ も解をもたないので ${\mathfrak{p}}_3$ は単項でなく、${\mathfrak{p}}_3^2=(3)$ より $[{\mathfrak{p}}_3]$ の位数も $2$。

ステップ 4: 関係式. $N(\sqrt{-6})=6$ なので $(\sqrt{-6})$ はノルム $6$ のイデアルである。$2,3$ はともに分岐するので、ノルム $6$ のイデアルは ${\mathfrak{p}}_2{\mathfrak{p}}_3$ ただ 1 つ。よって ${\mathfrak{p}}_2{\mathfrak{p}}_3=(\sqrt{-6})$ であり、類群で $[{\mathfrak{p}}_3]=[{\mathfrak{p}}_2{]}^{-1}=[{\mathfrak{p}}_2]$ となる。

ステップ 5: 結論. 類群は位数 $2$ の元 $[{\mathfrak{p}}_2]$ ひとつで生成されるので、$\mathrm{Cl}(K)$ の位数は $2$。したがって $h_K=2$ である。

$-6\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ なので ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$、判別式 $d_K=-24$、虚二次体なので $r_2=1$, $n=2$。ミンコフスキーの限界は $M_K=\frac{n!}{n^n}{\left(\frac{4}{\pi }\right)}^{r_2}\sqrt{|d_K|}=\frac{2}{4}\cdot \frac{4}{\pi }\sqrt{24}=\frac{2\sqrt{24}}{\pi }\approx 3.12$。よって、すべてのイデアル類はノルムが $3$ 以下のイデアルを含む。調べるべき素数は $2,3$。\n\n- $p=2$: $x^2+6\equiv x^2(\mathrm{mod}2)$ より $2$ は分岐し、$2{\mathcal{O}}_K={\mathfrak{p}}_2^2$, ${\mathfrak{p}}_2=(2,\sqrt{-6})$、$N({\mathfrak{p}}_2)=2$。\n- $p=3$: $x^2+6\equiv x^2(\mathrm{mod}3)$ より $3$ も分岐し、$3{\mathcal{O}}_K={\mathfrak{p}}_3^2$, ${\mathfrak{p}}_3=(3,\sqrt{-6})$、$N({\mathfrak{p}}_3)=3$。\n\n${\mathfrak{p}}_2$ が単項と仮定すると、$a^2+6b^2=2$ となる整数 $a,b$ が存在するが、$b=0$ なら $a^2=2$、$b\ne 0$ なら左辺 $\ge 6$ で不可能。よって ${\mathfrak{p}}_2$ は単項でない。同様に $a^2+6b^2=3$ も解がなく、${\mathfrak{p}}_3$ も単項でない。\n\nまた $N(\sqrt{-6})=6$ で、$(\sqrt{-6})={\mathfrak{p}}_2{\mathfrak{p}}_3$ である（$\sqrt{-6}\in {\mathfrak{p}}_2\cap {\mathfrak{p}}_3$ でノルムが $6$）。したがって $[{\mathfrak{p}}_3]=[{\mathfrak{p}}_2{]}^{-1}=[{\mathfrak{p}}_2]$（${\mathfrak{p}}_2^2=(2)$ より $[{\mathfrak{p}}_2{]}^2=1$）。類群は $[{\mathfrak{p}}_2]$ で生成され、$[{\mathfrak{p}}_2]\ne 1$, $[{\mathfrak{p}}_2{]}^2=1$ なので位数 $2$ の巡回群。ゆえに $h_K=2$。\n\n検算: 虚二次体の類数表で $d=-24$ の類数は $2$（既約な二次形式 $x^2+6y^2$, $2x^2+3y^2$ の $2$ 個）と一致する。