代数的整数論の問題

1. $f$ が既約であることを確かめる。

$f$ はモニックな整数係数の 3 次式なので、有理根をもつならそれは $\pm 1$ である。$f(1)=3\ne 0$, $f(-1)=-1\ne 0$ より有理根をもたず、3 次式なので $\mathbb{Q}$ 上既約である。よって $[K:\mathbb{Q}]=3$ で、$1,\alpha ,{\alpha }^2$ は $K$ の $\mathbb{Q}$ 上の基底であり、$\mathbb{Z}[\alpha ]\subset {\mathcal{O}}_K$ である。

2. $\mathrm{disc}(f)$ を求める。

$x^3+px+q$ の判別式は $-4p^3-27q^2$ である。$p=1,q=1$ を代入して
$$\mathrm{disc}(f)=-4\cdot 1^3-27\cdot 1^2=-31.$$

3. 指数と $d_K$ を決める。

$$\mathrm{disc}(1,\alpha ,{\alpha }^2)=\mathrm{disc}(f)=[{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]{]}^2{d}_K$$
が成り立つ。$-31$ は素数 $31$ の $-1$ 倍で平方因子をもたないので、$[{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]{]}^2$ は $1$ でなければならない。よって ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\alpha ]$ で、$1,\alpha ,{\alpha }^2$ が整数基底になり、
$$d_K=\mathrm{disc}(f)=-31.$$

3 次多項式 $x^3+px+q$ の判別式は $-4p^3-27q^2$。$p=q=1$ より $\mathrm{disc}(f)=-4-27=-31$。

$\mathrm{disc}(f)=[{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]{]}^2{d}_K$ であり、$-31$ は平方因子をもたない（31 は素数）ので指数は 1、すなわち ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\alpha ]$ で $d_K=-31$。

検算: $f$ は $\mathbb{Q}$ 上既約（有理根の候補 $\pm 1$ は $f(1)=3,f(-1)=-1$ で根でない）なので $K$ は 3 次体。$d_K<0$ は実根 1 個・複素根 2 個（$f^{\prime }=3x^2+1>0$ で単調）と整合する。