代数的整数論の問題

手順 1: デデキントの定理が使えることを確かめる。 ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\alpha ]$ なので、どの素数 $p$ についても $p\nmid [{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]]=1$ である。したがって、$f$ を ${\mathbb{F}}_3$ 上で $f\equiv \prod g_i^{e_i}$（$g_i$ は相異なるモニック既約多項式）と分解すれば
$$3{\mathcal{O}}_K=\prod _i(3,g_i(\alpha ){)}^{e_i},N((3,g_i(\alpha )))=3^{\mathrm{deg}{g}_i}$$
となる。

手順 2: $f$ を ${\mathbb{F}}_3$ 上で分解する。 ${\mathbb{F}}_3$ の元を代入すると
$$f(0)=1,f(1)=3\equiv 0,f(2)=11\equiv 2(\mathrm{mod}3)$$
なので、$x=1$ が根であり $x-1$ で割り切れる。割り算をすると
$$x^3+x+1\equiv (x-1)(x^2+x+2)(\mathrm{mod}3)$$
（実際 $(x-1)(x^2+x+2)=x^3+x-2\equiv x^3+x+1$）。
次に $g(x)=x^2+x+2$ に ${\mathbb{F}}_3$ の元を代入すると
$$g(0)=2,g(1)=4\equiv 1,g(2)=8\equiv 2(\mathrm{mod}3)$$
で根をもたない。2 次式なので根をもたなければ ${\mathbb{F}}_3$ 上既約である。よって
$$f\equiv (x-1{)}^1(x^2+x+2{)}^1(\mathrm{mod}3).$$

手順 3: 素イデアル分解を読み取る。
$$3{\mathcal{O}}_K={\mathfrak{p}}_1{\mathfrak{p}}_2,{\mathfrak{p}}_1=(3,\alpha -1),{\mathfrak{p}}_2=(3,{\alpha }^2+\alpha +2).$$
分岐指数は $e_1=e_2=1$、剰余次数は $f_1=1,f_2=2$ で、$e_1{f}_1+e_2{f}_2=1+2=3=[K:\mathbb{Q}]$ が成り立つ（なお $3\nmid -31$ なので $3$ が不分岐であることとも合う）。ノルムは
$$N({\mathfrak{p}}_1)=3^1=3,N({\mathfrak{p}}_2)=3^2=9.$$

したがって、求める組は $(3,9)$ である。

${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\alpha ]$ なので、デデキントの定理により $3{\mathcal{O}}_K$ の分解は $f$ を ${\mathbb{F}}_3[x]$ で因数分解した結果に対応する（$3\nmid -31$ なので 3 は不分岐でもある）。

$f(x)=x^3+x+1$ を ${\mathbb{F}}_3$ で調べる: $f(0)=1$, $f(1)=3\equiv 0$, $f(2)=11\equiv 2$。よって根は $x=1$ のみ。$(x-1)$ で割ると $f\equiv (x-1)(x^2+x+2)(\mathrm{mod}3)$。検算: $(x-1)(x^2+x+2)=x^3+x-2\equiv x^3+x+1$。

$g(x)=x^2+x+2$ は $g(0)=2$, $g(1)=4\equiv 1$, $g(2)=8\equiv 2$ で ${\mathbb{F}}_3$ に根をもたず、2 次なので既約。

ゆえに $3{\mathcal{O}}_K={\mathfrak{p}}_1{\mathfrak{p}}_2$、${\mathfrak{p}}_1=(3,\alpha -1)$（剰余次数 1、ノルム 3）、${\mathfrak{p}}_2=(3,{\alpha }^2+\alpha +2)$（剰余次数 2、ノルム 9）。ノルムの積 $3\cdot 9=27=3^3$ で次数 3 と整合する。

相異なる素イデアルのノルムを小さい順に並べると $(3,9)$。