代数的整数論の問題

手順 1: $2$ と $3$ の分解の型を調べる。
- $p=2$: $d_K=-23\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ なので $2$ は分解し、$2{\mathcal{O}}_K=\mathfrak{p}\bar{\mathfrak{p}}$（$\mathfrak{p}\ne \bar{\mathfrak{p}}$、ともにノルム $2$）。
- $p=3$: $-23\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ なので $\left(\frac{-23}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}\right)=1$ となり、$3$ は分解し、$3{\mathcal{O}}_K=\mathfrak{q}\bar{\mathfrak{q}}$（ともにノルム $3$）。

手順 2: ノルム $6$ のイデアルを数える。 素イデアル分解の一意性とノルムの乗法性から、ノルム $6=2\cdot 3$ のイデアルは「ノルム $2$ の素イデアル 1 つ」と「ノルム $3$ の素イデアル 1 つ」の積にちょうど 1 通りに書ける。ノルム $2$ の素イデアルは $\mathfrak{p},\bar{\mathfrak{p}}$ の $2$ 個、ノルム $3$ の素イデアルは $\mathfrak{q},\bar{\mathfrak{q}}$ の $2$ 個なので、積の法則より
$$\mathfrak{pq},\mathfrak{p}\bar{\mathfrak{q}},\bar{\mathfrak{p}}\mathfrak{q},\bar{\mathfrak{p}}\bar{\mathfrak{q}}$$
の $2\times 2=4$ 個である。

手順 3: ノルム形式を書く。 $\alpha =x+y\omega$（$x,y\in \mathbb{Z}$）について、$\omega +\bar{\omega }=1$, $\omega \bar{\omega }=\frac{1+23}{4}=6$ より
$$N(\alpha )=(x+y\omega )(x+y\bar{\omega })=x^2+xy+6y^2=\frac{(2x+y{)}^2+23y^2}{4}.$$
単項イデアル $(\alpha )$ のノルムは $|N(\alpha )|=N(\alpha )$（虚 2 次体なので $N(\alpha )>0$）である。

手順 4: $N(\alpha )=6$ の整数解を求める。 $(2x+y{)}^2+23y^2=24$ より $23y^2\le 24$ なので $y=0,\pm 1$。
- $y=0$: $(2x{)}^2=24$ は整数解なし。
- $y=\pm 1$: $(2x+y{)}^2=1$ より $2x+y=\pm 1$。$y=1$ なら $x=0,-1$、$y=-1$ なら $x=1,0$。

よって解は $\alpha =\omega ,-1+\omega ,1-\omega ,-\omega$ の $4$ 個。

手順 5: 単数倍を同一視する。 $K$ は $\mathbb{Q}(i),\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ ではないので単数は $\pm 1$ だけである。$\pm$ で同一視すると $\omega$ と $1-\omega (=\bar{\omega })$ の $2$ つが残る。$\omega \ne \pm (1-\omega )$ なので両者は同伴でなく、$(\omega )\ne (\bar{\omega })$ である。したがってノルム $6$ の単項イデアルは $(\omega ),(\bar{\omega })$ のちょうど $2$ 個である。

（$(\omega )$ は $\mathfrak{pq}$ 型の 1 つ、$(\bar{\omega })$ はその共役であり、残りの $2$ 個のイデアルは単項でない。）

以上より、求める組は $(4,2)$ である。

$d_K=-23$。素数の分解を調べる。

• $p=2$: $-23\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ なので 2 は完全分解し $2{\mathcal{O}}_K={\mathfrak{p}}_2\overline{{\mathfrak{p}}_2}$（ともにノルム 2）。
• $p=3$: $-23\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ は平方剰余（$1^2$）で、$3\nmid 23$ なので 3 も完全分解し $3{\mathcal{O}}_K={\mathfrak{p}}_3\overline{{\mathfrak{p}}_3}$（ともにノルム 3）。

ノルムは乗法的で、イデアルは素イデアルの積に一意に分解するので、ノルム $6=2\cdot 3$ のイデアルは（ノルム 2 の素イデアル）×（ノルム 3 の素イデアル）の形に限られ、$2\times 2=4$ 個: ${\mathfrak{p}}_2{\mathfrak{p}}_3,{\mathfrak{p}}_2\overline{{\mathfrak{p}}_3},\overline{{\mathfrak{p}}_2}{\mathfrak{p}}_3,\overline{{\mathfrak{p}}_2}\overline{{\mathfrak{p}}_3}$。

単項なもの: $\alpha =x+y\omega$ のノルムは $N(\alpha )=x^2+xy+6y^2$。ノルム 6 の元を探す。$y=0$: $x^2=6$ 不可。$y=\pm 1$: $x^2\pm x+6=6$ より $x(x\pm 1)=0$ で、$\pm \omega$、$\pm (\omega -1)$（$=\pm \overline{\omega }$の符号違い）が得られる。$|y|\ge 2$ では $x^2+xy+6y^2\ge \frac{23}{4}{y}^2\ge 23>6$ で不可。単数は $\pm 1$ のみなので、単項イデアルは $(\omega )$ と $(\omega -1)=(\overline{\omega })$ の 2 個。

整合性の確認: $h(-23)=3$ で、ノルム 2, 3 の素イデアルは $x^2+xy+6y^2=2,3$ に解がなく単項でない。類群 $\mathbb{Z}/3$ の生成元を $g$ とすると、各素イデアルの類は $g^{\pm 1}$ で、積 4 個のうち類が自明になるのは $g\cdot g^{-1}$ 型の 2 個であり、上の結果と一致する。

よって個数は 4、そのうち単項は 2。