2 次体での素数の分解

2 次体 $K$ （判別式 $d_{K}$ ）で、奇素数 $p$ が $(\frac{d _{K}}{p}) = 1$ なら分解、 $- 1$ なら惰性、 $p ∣ d_{K}$ なら分岐することを判定でき（ $p = 2$ は $d_{K} mod 8$ で判定）、分解するとき $p O_{K} = (p, a + d) (p, a - d)$ （ $a^{2} \equiv d (mod p)$ ）と素イデアルを書ける（例: $Q (- 26)$ で $3, 5, 7$ は分解、 $11$ は惰性、 $2, 13$ は分岐）

前提

2 次体の整数環と判別式（大学院数学代数的整数論）
平方剰余の相互法則（大学数学整数論）
剰余環の素イデアル（対応定理）（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）

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算数中学高校大学大学院

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2 次体の整数環と判別式（大学院数学代数的整数論）
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平方剰余の相互法則（大学数学整数論）
群の位数と元の位数（大学数学代数学）
有限アーベル群の構造と部分群の個数（大学数学代数学）
剰余類環の単元群とオイラー関数（大学数学代数学）
整式の除法（数学II 複素数と方程式）
剰余環のイデアルと単元の個数（大学数学代数学）
剰余環の素イデアル（対応定理）（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）

説明

2 次体 $K = Q (d)$ （ $d$ は平方因子をもたない整数、 $d \neq = 0, 1$ ）の整数環 $O_{K}$ の中で、素数 $p$ から生じるイデアル $p O_{K}$ が素イデアルの積としてどう分かれるかを判定する技能です。結果は「相異なる 2 つの素イデアルの積になる（分解）」「それ自身が素イデアル（惰性）」「ある素イデアルの 2 乗になる（分岐）」の 3 通りで、奇素数ならルジャンドル記号 $(\frac{d _{K}}{p})$ 1 つで決まります。 $x^{2} - d y^{2}$ の形で表せる素数の判定や、イデアル類群の計算の下準備で使います。

なぜそうしてよいのか

整数環は 1 元で生成されます: $O_{K} = Z [ω]$ 、ここで $d \equiv 2, 3 (mod 4)$ なら $ω = d$ で最小多項式 $g (x) = x^{2} - d$ 、 $d \equiv 1 (mod 4)$ なら $ω = \frac{1 + d}{2}$ で $g (x) = x^{2} - x + \frac{1 - d}{4}$ です。どちらの場合も $g$ の判別式はちょうど $d_{K}$ （ $4 d$ または $d$ ）になります。 $O_{K} ≅ Z [x] / (g)$ なので $O_{K} / p O_{K} ≅ Z [x] / (p, g) ≅ F_{p} [x] / (g ˉ)$ であり、対応定理により $p$ を含む $O_{K}$ の素イデアルは $g ˉ = g mod p$ のモニック既約因子 $h$ と 1 対 1 に対応し、 $h$ に対応するのは $(p, h (ω))$ です。 $g ˉ$ が相異なる 1 次式の積なら素イデアルが 2 つ（分解）、既約なら $p O_{K}$ 自身が素イデアル（惰性）、1 次式の 2 乗なら素イデアルは 1 つで $p O_{K} = p^{2}$ （分岐）です。

$p$ が奇素数なら $2$ が $F_{p}$ で可逆なので平方完成でき、 $g ˉ$ は判別式 $d_{K}$ が $F_{p}$ で 0 でない平方なら相異なる 2 根、平方でないなら既約、 $0$ なら重根をもちます。これがそのまま $(\frac{d _{K}}{p}) = 1, - 1, 0$ に当たります（ $d_{K} = 4 d$ のときも $(\frac{4}{p}) = 1$ なので $(\frac{d}{p})$ で計算してよい）。分解のときは $a^{2} \equiv d (mod p)$ となる $a$ をとると $g ˉ$ の根から $(p, a + d)$ と $(p, a - d)$ が得られ、実際に積を展開すると $(p^{2}, p (a + d), p (a - d), a^{2} - d) \subset (p)$ で、さらに $p (a + d) + p (a - d) = 2 a p$ と $p^{2}$ を含み $g cd (2 a, p) = 1$ だから $p$ も含むので、 $p O_{K} = (p, a + d) (p, a - d)$ が確かめられます。

$p = 2$ ではルジャンドル記号が使えないので $g ˉ$ を直接見ます。 $d \equiv 2, 3 (mod 4)$ なら $x^{2} - d \equiv x^{2}$ または $(x + 1)^{2} (mod 2)$ で分岐（このとき $d_{K} = 4 d$ は偶数）。 $d \equiv 1 (mod 4)$ なら $g ˉ = x^{2} + x + \frac{1 - d}{4}$ で、 $d \equiv 1 (mod 8)$ なら定数項が偶数で $x (x + 1)$ と分解、 $d \equiv 5 (mod 8)$ なら $x^{2} + x + 1$ が $F_{2}$ で根をもたず惰性です。

手順

$d$ を平方因子のない形に直し、判別式 $d_{K}$ を求める（ $d \equiv 1 (mod 4)$ なら $d_{K} = d$ 、 $d \equiv 2, 3 (mod 4)$ なら $d_{K} = 4 d$ ）
$p ∣ d_{K}$ なら $p$ は分岐する（ $p = 2$ では $d_{K}$ が偶数のとき）
$p = 2$ で $d_{K}$ が奇数なら、 $d_{K} \equiv 1 (mod 8)$ で分解、 $d_{K} \equiv 5 (mod 8)$ で惰性と判定する
奇素数 $p ∤ d_{K}$ なら $(\frac{d _{K}}{p})$ （ $= (\frac{d}{p})$ ）を補充法則・相互法則やオイラーの規準で計算し、 $1$ なら分解、 $- 1$ なら惰性
分解する奇素数では $a^{2} \equiv d (mod p)$ となる $a$ を見つけ、 $p O_{K} = (p, a + d) (p, a - d)$ と書く

例題

$K = Q (- 5)$ とする。 $20$ 以下の素数のうち、 $K$ で分解する（ $p O_{K}$ が相異なる 2 つの素イデアルの積になる）ものをすべて求めよ。

例題の解答

手順 1: $- 5 \equiv 3 (mod 4)$ なので $O_{K} = Z [- 5]$ 、 $d_{K} = 4 \cdot (- 5) = - 20$ 。

手順 2: $d_{K} = - 20 = - 2^{2} \cdot 5$ を割る素数 $2, 5$ は分岐する（分解しない）。

手順 3: $d_{K}$ は偶数なので $p = 2$ は手順 2 で処理済み。

手順 4: 残りの奇素数 $p = 3, 7, 11, 13, 17, 19$ で $(\frac{- 20}{p}) = (\frac{- 5}{p})$ を調べる。
- $p = 3$ : $- 5 \equiv 1 = 1^{2}$ なので $1$ 。分解。
- $p = 7$ : $- 5 \equiv 2 \equiv 3^{2} (mod 7)$ なので $1$ 。分解。
- $p = 11$ : $- 5 \equiv 6$ 。 $mod 11$ の平方は $1, 4, 9, 5, 3$ で $6$ はないので $- 1$ 。惰性。
- $p = 13$ : $- 5 \equiv 8$ 。 $mod 13$ の平方は $1, 4, 9, 3, 12, 10$ で $8$ はないので $- 1$ 。惰性。
- $p = 17$ : $- 5 \equiv 12$ 。 $mod 17$ の平方は $1, 4, 9, 16, 8, 2, 15, 13$ で $12$ はないので $- 1$ 。惰性。
- $p = 19$ : $- 5 \equiv 14$ 。 $mod 19$ の平方は $1, 4, 9, 16, 6, 17, 11, 7, 5$ で $14$ はないので $- 1$ 。惰性。

手順 5（参考）: $3 O_{K} = (3, 1 + - 5) (3, 1 - - 5)$ （ $1^{2} \equiv - 5 (mod 3)$ ）、 $7 O_{K} = (7, 3 + - 5) (7, 3 - - 5)$ （ $3^{2} = 9 \equiv - 5 (mod 7)$ ）。

よって分解する素数は $3, 7$ 。

答え: ${3, 7}$

よくある誤り

$p = 2$ をルジャンドル記号や $x^{2} - d mod 2$ で判定してしまう誤り。たとえば $Q (5)$ で $x^{2} - 5 \equiv (x + 1)^{2} (mod 2)$ だから分岐、としてはいけません（ $Z [5]$ は整数環ではない）。正しくは $ω = \frac{1 + 5}{2}$ の最小多項式 $x^{2} - x - 1 \equiv x^{2} + x + 1 (mod 2)$ を見るか、 $d_{K} = 5 \equiv 5 (mod 8)$ から、 $2$ は惰性です
$d \equiv 2, 3 (mod 4)$ のとき、 $d_{K} = 4 d$ を忘れて $p = 2$ を分岐しないと判定してしまう誤り。たとえば $Q (- 1)$ で $d = - 1 \equiv 7 (mod 8)$ だから分解、とするのは誤りで、正しくは $d_{K} = - 4$ が偶数なので $2 O_{K} = (1 + i)^{2}$ と分岐します
$(\frac{d _{K}}{p}) = 0$ （ $p ∣ d_{K}$ ）を「平方剰余でない」とみなして惰性と判定してしまう誤り。正しくは $p ∣ d_{K}$ なら分岐で、たとえば $Q (- 5)$ で $5 O_{K} = (5, - 5)^{2} = (- 5)^{2}$ です
分解するときの素イデアルを $(a + d)$ のように $p$ を落として書いてしまう誤り。 $Q (- 5)$ で $(1 + - 5)$ のノルムは $6$ で、 $3$ の上の素イデアルではありません。正しくは $(3, 1 + - 5)$ のように $p$ と $a \pm d$ の 2 つで生成します

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$K = Q (- 2)$ とし、 $O_{K}$ を $K$ の整数環とする。 $3 \leq p \leq 19$ を満たす奇素数 $p$ のうち、 $p O_{K}$ が相異なる 2 つの素イデアルの積に分解する（ $p$ が $K$ で分解する）ものをすべて求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

デデキントの定理による素イデアル分解（大学院数学代数的整数論）
イデアルのノルムと単項性の判定（大学院数学代数的整数論）