代数的整数論の問題

$-14\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ なので ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{-14}]$、判別式は $D_K=-56$ である。

ノルム $15$ のイデアル. $\left(\frac{-14}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}\right)=1$、$\left(\frac{-14}{5}\right)=\left(\frac{1}{5}\right)=1$ なので、$3$ と $5$ はともに分解する：$3{\mathcal{O}}_K={\mathfrak{p}}_3\overline{{\mathfrak{p}}_3}$、$5{\mathcal{O}}_K={\mathfrak{p}}_5\overline{{\mathfrak{p}}_5}$（${\mathfrak{p}}_3\ne \overline{{\mathfrak{p}}_3}$, ${\mathfrak{p}}_5\ne \overline{{\mathfrak{p}}_5}$）。ノルム $15$ のイデアルは、ノルム $3$ の素イデアルとノルム $5$ の素イデアルの積だから
$${\mathfrak{p}}_3{\mathfrak{p}}_5,{\mathfrak{p}}_3\overline{{\mathfrak{p}}_5},\overline{{\mathfrak{p}}_3}{\mathfrak{p}}_5,\overline{{\mathfrak{p}}_3}\overline{{\mathfrak{p}}_5}$$
の $4$ 個である。

単項なもの. ノルム $15$ の単項イデアル $(\alpha )$, $\alpha =a+b\sqrt{-14}$ は $N(\alpha )=a^2+14b^2=15$ をみたす。$b=0$ では $a^2=15$ は不可、$b=\pm 1$ で $a^2=1$、$|b|\ge 2$ では $14b^2>15$。よって $\alpha =\pm 1\pm \sqrt{-14}$ である。${\mathcal{O}}_K^{\times }=\{\pm 1\}$ なので、これらが生成するイデアルは
$$(1+\sqrt{-14}),(1-\sqrt{-14})$$
の $2$ 個である。この $2$ つが等しいとすると $(1+\sqrt{-14})$ が共役で不変になり、$3$ を割る素イデアルが ${\mathfrak{p}}_3=\overline{{\mathfrak{p}}_3}$ となって $3$ が分岐することになり矛盾する。よって相異なる。

したがってノルム $15$ の単項イデアルはちょうど $2$ 個である（残りの $2$ 個は単項でない。$h_K=4$ と整合する）。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-14})$、$-14\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ なので ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{-14}]$、判別式 $-56$、類数 $4$（類群は $\mathbb{Z}/4$）。

ノルム $15=3\cdot 5$ のイデアル: $-14\equiv 1(\mathrm{mod}3)$（平方剰余）、$-14\equiv 1(\mathrm{mod}5)$（平方剰余）より $3,5$ はともに分解し、$(3)={\mathfrak{p}}_3{\mathfrak{p}}_3^{\prime }$, $(5)={\mathfrak{p}}_5{\mathfrak{p}}_5^{\prime }$。ノルム $15$ のイデアルは ${\mathfrak{p}}_3^{\pm }{\mathfrak{p}}_5^{\pm }$ の $4$ 個。

主イデアルになるのは、ノルム $15$ の元 $x+y\sqrt{-14}$（$x^2+14y^2=15$）が生成するもの。解は $(x,y)=(\pm 1,\pm 1)$ のみ（$y=0$ なら $x^2=15$ で不可）。生成されるイデアルは $(1+\sqrt{-14})$ と $(1-\sqrt{-14})$ の 2 個（符号違いは同じイデアル）。

検算（類群）: 判別式 $-56$ の簡約形式は $x^2+14y^2$, $2x^2+7y^2$, $3x^2\pm 2xy+5y^2$ の 4 つで、${\mathfrak{p}}_3,{\mathfrak{p}}_5$ の類は $3x^2\pm 2xy+5y^2$ に対応する位数 4 の元 $g^{\pm 1}$。積 ${\mathfrak{p}}_3^{ϵ}{\mathfrak{p}}_5^{\delta }$ の類は $g^{\pm 1\pm 1}$ で、符号が逆のとき単位類（主）、同じとき $g^{\pm 2}$（非主）。主になるのは 4 個中 2 個で一致。

答え: $2$