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代数的整数論の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学代数的整数論

$K = Q (- 26)$ とし、 $O_{K}$ を $K$ の整数環とする。 $K$ の類数 $h_{K}$ （ $O_{K}$ のイデアル類群の位数）を求めよ。

この問題で使うもの

2 次体の整数環と判別式（説明と入口の問題）
簡約 2 次形式による類数の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（48 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

虚 2 次体の類数は、判別式 $D_{K}$ の簡約された正定値 2 元 2 次形式の個数として数えられる。まず $O_{K}$ と $D_{K}$ を決めよう。

ヒント 2

$D_{K} = - 104$ である。簡約形 $a x^{2} + b x y + c y^{2}$ は $∣ b ∣ \leq a \leq c$ をみたし、 $3 a^{2} \leq ∣ D_{K} ∣$ から $a$ の範囲が絞れる。 $b$ は偶数で $a c = (b^{2} + 104) /4$ となる。

ヒント 3

$a \leq 5$ であり、 $b = 0$ のとき $(1, 0, 26), (2, 0, 13)$ 、 $b = \pm 2$ のとき $a = 3, c = 9$ が得られる。残りの $b = \pm 4$ の場合を調べよう。

答えと解説

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6

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解説を読む

$- 26 \equiv 2 (mod 4)$ なので $O_{K} = Z [- 26]$ であり、判別式は $D_{K} = 4 \cdot (- 26) = - 104$ である。

虚 2 次体の類数は、判別式 $D_{K}$ の正定値原始的 2 元 2 次形式 $a x^{2} + b x y + c y^{2}$ （ $b^{2} - 4 a c = D_{K}$ ）の簡約形の個数に等しい。簡約形の条件は
$∣ b ∣ \leq a \leq c, (∣ b ∣ = a または a = c のとき b \geq 0)$
である。このとき $3 a^{2} \leq 4 a c - b^{2} = 104$ より $a \leq 5$ である。また $b^{2} \equiv D_{K} \equiv 0 (mod 4)$ より $b$ は偶数で、 $a c = \frac{b ^{2} + 104}{4}$ である。

$b = 0$ : $a c = 26$ 。 $a \leq c$ より $(a, c) = (1, 26), (2, 13)$ 。形式 $(1, 0, 26), (2, 0, 13)$ の $2$ 個。
$b = \pm 2$ : $a c = 27$ 、 $a \geq 2$ より $(a, c) = (3, 9)$ 。 $∣ b ∣ < a < c$ なので $(3, 2, 9), (3, - 2, 9)$ の $2$ 個。
$b = \pm 4$ : $a c = 30$ 、 $a \geq 4$ , $a \leq 5$ より $(a, c) = (5, 6)$ 。 $(5, 4, 6), (5, - 4, 6)$ の $2$ 個。

$∣ b ∣ \leq a \leq 5$ なので $∣ b ∣ \geq 6$ は起こらない。いずれの形式も係数の最大公約数は $1$ で原始的である。

よって簡約形は全部で $6$ 個であり、 $h_{K} = 6$ である。

別解

$- 26 \equiv 2 (mod 4)$ なので $O_{K} = Z [- 26]$ 、判別式 $D = - 104$ 。ミンコフスキー限界は $\frac{2}{π} 104 \approx 6.49$ なので、ノルム $\leq 6$ の素イデアルを調べる。

簡約された 2 次形式（判別式 $- 104$ ） $a x^{2} + b x y + c y^{2}$ , $b^{2} - 4 a c = - 104$ , $∣ b ∣ \leq a \leq c$ を数える（原始的なもの）。 $b$ は偶数。
- $b = 0$ : $a c = 26$ : $(1, 0, 26)$ , $(2, 0, 13)$ 。
- $b = \pm 2$ : $a c = 27$ : $(3, \pm 2, 9)$ （ $a = 3 \geq 2$ ✓）。 $(1, 2, 27)$ は $∣ b ∣ \leq a$ を満たさない。
- $b = \pm 4$ : $a c = 30$ : $(5, \pm 4, 6)$ （ $a = 5 \geq 4$ ✓）。 $(3, 4, 10)$ は $∣ b ∣ > a$ で除外、 $(2, 4, 15)$ も除外。
- $b = \pm 6$ : $a c = 35$ : $(5, 6, 7)$ は $∣ b ∣ > a$ で除外。 $a \geq 6$ だと $a c \geq 36 > 35$ で不可。
- $b = \pm 8$ : $a c = 42$ , $a \geq 8$ で $c \geq a$ だと $a c \geq 64$ で不可。
$∣ b ∣ = a$ や $a = c$ の場合の境界は $b = \pm 2, a = 2$ など該当なし。

合計: $(1, 0, 26), (2, 0, 13), (3, \pm 2, 9), (5, \pm 4, 6)$ の $1 + 1 + 2 + 2 = 6$ 個。

検算: 類数公式 $h (- 104) = 6$ は既知の値（ $h (- 104) = 6$ ）と一致。

答え: $6$

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