2 次体の整数環と判別式

平方因子をもたない整数 $d$ について、 $Q (d)$ の元 $a + b d$ が代数的整数であることをトレースとノルムが整数であることで判定し、整数環が $d \equiv 1 (mod 4)$ なら $Z [\frac{1 + d}{2}]$ 、 $d \equiv 2, 3 (mod 4)$ なら $Z [d]$ になることを使って、判別式 $d_{K}$ （ $d$ または $4 d$ 、整数基底 $ω_{1}, ω_{2}$ について $det (σ_{i} (ω_{j}))^{2}$ ）を求められる（例: $Q (- 26)$ では $d_{K} = - 104$ ）

前提

最小多項式と既約性の判定（大学数学代数学）
合同式（数学A 整数の性質）
行列式（大学数学線形代数）

この技能までの道筋（46 技能）

算数中学高校大学大学院

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行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）

説明

平方因子をもたない整数 $d (\neq = 0, 1)$ に対する 2 次体 $K = Q (d)$ で、どの元 $a + b d (a, b \in Q)$ が「整数」の役割を果たすか（代数的整数か）を判定し、それらの全体である整数環 $O_{K}$ を決定します。さらに $O_{K}$ の整数基底から判別式 $d_{K}$ を計算します。判別式は、素数の分解のしかたや 2 次体のゼータ関数・類数の計算など、2 次体を調べるあらゆる場面で最初に必要になる量です。

なぜそうしてよいのか

複素数 $α$ が代数的整数であるとは、最高次の係数が $1$ の整数係数多項式の根になることをいいます。 $α$ が代数的整数ならその $Q$ 上の最小多項式は整数係数になります（ガウスの補題: 最高次係数 $1$ の整数係数多項式を、最高次係数 $1$ の有理数係数多項式 2 つの積に分けると、両方とも実は整数係数になる）。逆に最小多項式が整数係数なら定義から代数的整数です。 $b \neq = 0$ のとき $α = a + b d$ と共役 $α^{'} = a - b d$ を根にもつ $x^{2} - 2 a x + (a^{2} - d b^{2})$ が最小多項式なので、トレース $Tr α = α + α^{'} = 2 a$ とノルム $N α = α α^{'} = a^{2} - d b^{2}$ がともに整数であることが、代数的整数であるための必要十分条件になります（ $b = 0$ なら $α = a \in Z$ が条件で、これも同じ条件に含まれます）。

この条件を解きます。 $m = 2 a, n = 2 b$ とおくと $m \in Z$ で、 $4 N α = m^{2} - d n^{2} \in 4 Z$ です。特に $d n^{2} \in Z$ で、 $n = p / q$ （既約分数）とすると $q^{2} ∣ d$ 、 $d$ は平方因子をもたないので $q = 1$ 、つまり $n \in Z$ です。残る条件は $m^{2} \equiv d n^{2} (mod 4)$ で、平方数は $4$ で割って $0$ か $1$ 余ることを使います。 $d \equiv 2, 3 (mod 4)$ のとき、 $n$ が奇数だと $m^{2} \equiv d \equiv 2, 3$ となり不可能なので $n$ は偶数、すると $m^{2} \equiv 0$ で $m$ も偶数。よって $a, b \in Z$ で $O_{K} = Z [d] = {x + y d ∣ x, y \in Z}$ 。 $d \equiv 1 (mod 4)$ のとき条件は $m^{2} \equiv n^{2} (mod 4)$ 、つまり $m \equiv n (mod 2)$ で、 $\frac{m + n d}{2} = \frac{m - n}{2} + n \cdot \frac{1 + d}{2}$ と書けるので $O_{K} = Z [\frac{1 + d}{2}]$ となります。

判別式は、 $O_{K}$ の整数基底（ $O_{K} = Z ω_{1} + Z ω_{2}$ となる $ω_{1}, ω_{2}$ ）と、 $K$ から $C$ への 2 つの埋め込み $σ_{1} = id$ , $σ_{2} : d \mapsto - d$ を使って $d_{K} = det (σ_{i} (ω_{j}))^{2}$ と定めます。別の整数基底に取りかえると行列に行列式 $\pm 1$ の整数行列が右から掛かるので、2 乗した値は基底によりません。 $ω_{1} = 1, ω_{2} = ω$ とすると $det (11 ω ω^{'})^{2} = (ω^{'} - ω)^{2}$ で、 $ω = d$ なら $(- 2 d)^{2} = 4 d$ 、 $ω = \frac{1 + d}{2}$ なら $(- d)^{2} = d$ です。

手順

$K$ を $Q (d)$ （ $d$ は平方因子をもたない整数）の形に直す。根号の中に平方因子があれば外に出す（例: $Q (- 12) = Q (- 3)$ ）
$d$ を $4$ で割った余りを求める。負の $d$ も余りは $0, 1, 2, 3$ の範囲でとる（例: $- 15 = 4 \cdot (- 4) + 1$ なので $- 15 \equiv 1$ ）
整数環と整数基底を決める: $d \equiv 1 (mod 4)$ なら $O_{K} = Z [\frac{1 + d}{2}]$ , 基底 $1, \frac{1 + d}{2}$ 。 $d \equiv 2, 3 (mod 4)$ なら $O_{K} = Z [d]$ , 基底 $1, d$
個々の元 $a + b d$ を判定するときは、 $Tr = 2 a$ と $N = a^{2} - d b^{2}$ が整数かを調べる
判別式 $d_{K} = det (11 ω ω^{'})^{2} = (ω - ω^{'})^{2}$ を計算する。結果は $d \equiv 1$ なら $d_{K} = d$ 、 $d \equiv 2, 3$ なら $d_{K} = 4 d$

例題

2 次体 $K = Q (- 15)$ の判別式 $d_{K}$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $- 15 = - 3 \cdot 5$ は平方因子をもたないので、 $d = - 15$ のままでよい。

【手順 2】 $- 15 = 4 \cdot (- 4) + 1$ より $d \equiv 1 (mod 4)$ 。

【手順 3】よって $O_{K} = Z [\frac{1 + - 15}{2}]$ で、整数基底は $ω_{1} = 1, ω_{2} = ω = \frac{1 + - 15}{2}$ 。

【手順 4】確認として $ω$ は $Tr ω = 1$ , $N ω = \frac{1 - ( - 15 )}{4} = 4$ がともに整数なので代数的整数である（最小多項式は $x^{2} - x + 4$ ）。

【手順 5】 $ω^{'} = \frac{1 - - 15}{2}$ なので
$d_{K} = det (11 ω ω^{'})^{2} = (ω^{'} - ω)^{2} = (- - 15)^{2} = - 15.$

答え: $- 15$

よくある誤り

負の $d$ の余りを $∣ d ∣$ で計算してしまう誤り。例えば $- 15$ を $15 \equiv 3$ から $d \equiv 3 (mod 4)$ として $d_{K} = - 60$ とする。正しくは $- 15 \equiv 1 (mod 4)$ で $d_{K} = - 15$ 。同様に $- 26 \equiv 2 (mod 4)$ なので $Q (- 26)$ は $d_{K} = 4 \cdot (- 26) = - 104$ 。
$d \equiv 1 (mod 4)$ でも整数環を $Z [d]$ としてしまう誤り。例えば $\frac{1 + 5}{2}$ は $Tr = 1$ , $N = \frac{1 - 5}{4} = - 1$ で $x^{2} - x - 1$ の根なので代数的整数。正しくは $O_{Q (5)} = Z [\frac{1 + 5}{2}]$ で $d_{K} = 5$ （ $Z [5]$ から計算した $20$ ではない）。
根号の中の平方因子を外さずに公式を当てはめる誤り。例えば $Q (12)$ で $d = 12 \equiv 0$ として $4 \cdot 12 = 48$ とする。正しくは $Q (12) = Q (3)$ で、 $3 \equiv 3 (mod 4)$ なので $d_{K} = 12$ 。
判別式を 2 乗せずに $det (σ_{i} (ω_{j}))$ のままにする誤り。例えば $Q (2)$ で $det (11 2 - 2) = - 22$ を答えにする。正しくは 2 乗して $d_{K} = (- 22)^{2} = 8$ で、判別式は基底の取り方によらない整数になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$K = Q (- 15)$ とし、 $O_{K}$ を $K$ の整数環（ $K$ に含まれる代数的整数全体）とする。 $O_{K}$ の整数基底 $ω_{1}, ω_{2}$ と、 $K$ から $C$ への 2 つの埋め込み $σ_{1}, σ_{2}$ を用いて、 $K$ の判別式を
$d_{K} = det (σ_{1} (ω_{1}) σ_{2} (ω_{1}) σ_{1} (ω_{2}) σ_{2} (ω_{2}))^{2}$
で定める。 $d_{K}$ の値を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

3 次体の整数基底と判別式（大学院数学代数的整数論）
2 次体での素数の分解（大学院数学代数的整数論）
簡約 2 次形式による類数の計算（大学院数学代数的整数論）
単数群と実 2 次体の基本単数（大学院数学代数的整数論）