代数的整数論の問題

1. ${\mathcal{O}}_K$ の基本単数. $13\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ なので ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\omega ]$、$\omega =\frac{1+\sqrt{13}}{2}$ であり、${\omega }^2=\omega +3$ をみたす。${\mathcal{O}}_K$ の元は $\frac{a+b\sqrt{13}}{2}$（$a\equiv b(\mathrm{mod}2)$）と書ける。これが単数であるための条件はノルムが $\pm 1$ であること、すなわち $a^2-13b^2=\pm 4$ である。$1$ より大きい単数では $a,b>0$ であり、$1$ より大きい単数のうち最小のもの（基本単数）は $b$ が最小のものである。$b=1$ とすると $a^2=13\pm 4$ となり、$a^2=9$、すなわち $a=3$ が解になる。よって基本単数は
$$\epsilon =\frac{3+\sqrt{13}}{2}=1+\omega ,N(\epsilon )=\frac{9-13}{4}=-1$$
であり、${\mathcal{O}}_K^{\times }=\{\pm {\epsilon }^n\mid n\in \mathbb{Z}\}$ となる。

2. $\mathcal{O}$ の記述. $3\sqrt{13}=3(2\omega -1)=6\omega -3$ なので
$$\mathcal{O}=\mathbb{Z}+6\omega \mathbb{Z}=\{c+d\omega \mid c,d\in \mathbb{Z},6\mid d\}$$
である（導手 $6$ の整環）。

3. ${\mathcal{O}}^{\times }=\mathcal{O}\cap {\mathcal{O}}_K^{\times }$. ${\mathcal{O}}^{\times }\subset \mathcal{O}\cap {\mathcal{O}}_K^{\times }$ は明らかである。逆に $u\in \mathcal{O}\cap {\mathcal{O}}_K^{\times }$ とすると $u^{-1}=\pm \bar{u}$（$\bar{u}$ は共役）である。$\mathcal{O}$ は共役で閉じているので $u^{-1}\in \mathcal{O}$ となり、$u\in {\mathcal{O}}^{\times }$ が従う。$-1\in \mathcal{O}$ であるから、${\epsilon }^n\in \mathcal{O}$ となる整数 $n$ の全体は $\mathbb{Z}$ の部分群をなす。それを $m\mathbb{Z}$（$m>0$ は最小のもの）とすると ${\mathcal{O}}^{\times }=\{\pm {\epsilon }^{mn}\}$ であり、$\eta ={\epsilon }^m$ となる。

4. $m$ の計算. ${\epsilon }^n=c_n+d_n\omega$ とおく。${\omega }^2=\omega +3$ より
$$(1+\omega )(c+d\omega )=(c+3d)+(c+2d)\omega$$
となるので、$c_{n+1}=c_n+3d_n$、$d_{n+1}=c_n+2d_n$、$(c_1,d_1)=(1,1)$ である。順に計算すると
$$\begin{array}{ccccccc}n& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ c_n& 1& 4& 13& 43& 142& 469\\ d_n& 1& 3& 10& 33& 109& 360\end{array}$$
となる。$6\mid d_n$ となる最小の $n$ は $6$ である（$d_1,\dots ,d_5=1,3,10,33,109$ はいずれも $6$ で割り切れず、$d_6=360=6\cdot 60$）。よって $m=6$ であり、$[{\mathcal{O}}_K^{\times }:{\mathcal{O}}^{\times }]=6$ となる。

5. $\eta$ の計算.
$$\eta ={\epsilon }^6=469+360\omega =469+180(1+\sqrt{13})=649+180\sqrt{13}.$$
検算として、$649^2-13\cdot 180^2=421201-421200=1$ であり、$\eta =649+60\cdot (3\sqrt{13})\in \mathcal{O}$ である。これはペル方程式 $X^2-117Y^2=1$ の最小解 $(649,60)$ とも一致する。

したがって $(x,y)=(649,180)$ である。

${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\omega ]$, $\omega =\frac{1+\sqrt{13}}{2}$ であり、基本単数は $\epsilon =\frac{3+\sqrt{13}}{2}$（ノルム $-1$）である。
$\mathcal{O}=\{x+y\sqrt{13}\mid x\in \mathbb{Z},y\in 3\mathbb{Z}\}$ であり、${\mathcal{O}}^{\times }={\mathcal{O}}_K^{\times }\cap \mathcal{O}$ である。$\{n\mid {\epsilon }^n\in \mathcal{O}\}$ は $\mathbb{Z}$ の部分群なので、これに含まれる最小の正の整数 $n$ を求めればよい。
${\epsilon }^n=\frac{u_n+v_n\sqrt{13}}{2}$ とおくと、$u_{n+1}=\frac{3u_n+13v_n}{2}$、$v_{n+1}=\frac{u_n+3v_n}{2}$、$(u_1,v_1)=(3,1)$ である。
$n=1$: $(3,1)$、$n=2$: $(11,3)$、$n=3$: $(36,10)$、$n=4$: $(119,33)$、$n=5$: $(393,109)$、$n=6$: $(1298,360)$。
$n=1,\dots ,5$ では次の理由で $\mathcal{O}$ に入らない。
- $n=1,2,4,5$: $u_n$ が奇数で、$x$ が整数でない。
- $n=3$: ${\epsilon }^3=18+5\sqrt{13}$ で、$y=5$ が $3$ の倍数でない。
$n=6$: ${\epsilon }^6=649+180\sqrt{13}$ で、$x=649\in \mathbb{Z}$、$y=180\in 3\mathbb{Z}$ より $\mathcal{O}$ に入る。
検算: $649^2-13\cdot 180^2=421201-421200=1$ となり、ノルムは $1$ である。
よって $\eta ={\epsilon }^6=649+180\sqrt{13}$、すなわち $(x,y)=(649,180)$。