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ペル方程式の解の生成

$x^2-d{y}^2=1$ の基本解 $(x_1,y_1)$（小さな $d$ では試して見つける）から、すべての正の整数解を $x_k+y_k\sqrt{d}=(x_1+y_1\sqrt{d}{)}^k$ や漸化式 $x_{k+1}=x_1{x}_k+d{y}_1{y}_k$, $y_{k+1}=y_1{x}_k+x_1{y}_k$ で求め、$k$ 番目の解を求められる

前提

• 根号を含む式の計算と分母の有理化 （数学I 数と式）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. $d$ が平方数でない正の整数であることを確かめ、方程式を $x^2-d{y}^2=1$ の形に整える。

2. 基本解を見つける：$y=1,2,3,\dots$ と順に代入し、$d{y}^2+1$ が平方数になる最初の $y$ を探す。そのときの $(x_1,y_1)$ が基本解である（$(1,0)$ は正の整数解ではないので数えない）。

3. $k$ 番目の解を求める：$x_k+y_k\sqrt{d}=(x_1+y_1\sqrt{d}{)}^k$ を展開し、有理数の部分を $x_k$、$\sqrt{d}$ の係数を $y_k$ とする。

4. 1 つずつ順に求めるときは漸化式 $x_{k+1}=x_1{x}_k+d{y}_1{y}_k,y_{k+1}=y_1{x}_k+x_1{y}_k$ を使う（右辺にはどちらも古い $x_k,y_k$ を入れる）。

5. 得られた $(x_k,y_k)$ を $x^2-d{y}^2=1$ に代入して検算する。

例題

よくある誤り

• 各成分を別々に $k$ 乗して $(x_1^k,y_1^k)$ としてしまう誤り。例えば $x^2-2y^2=1$ で $(3^2,2^2)=(9,4)$ とすると $81-32=49\ne 1$ となり、解ではない。正しくは $(3+2\sqrt{2}{)}^2=17+12\sqrt{2}$ より $(17,12)$ である。

• 漸化式で $d$ を落として $x_{k+1}=x_1{x}_k+y_1{y}_k$ としてしまう誤り。$\sqrt{d}\cdot \sqrt{d}=d$ から $d$ が出るので、正しくは $x_{k+1}=x_1{x}_k+d{y}_1{y}_k$ である。

• 漸化式で、先に計算した新しい $x_{k+1}$ を $y_{k+1}$ の式に入れてしまう誤り。例えば $d=3$ で $x_2=7$ を使って $y_2=7+2\cdot 1=9$ とするのは誤り。正しくは古い値を使って $y_2=x_1+2y_1=2+2=4$ である。

• 自明な解 $(1,0)=(x_1+y_1\sqrt{d}{)}^0$ を 1 番目と数えて、番号を 1 つずらしてしまう誤り。$y=0$ は正の整数ではないので、正の整数解の 1 番目は基本解 $(x_1,y_1)$、$k$ 番目は $(x_1+y_1\sqrt{d}{)}^k$ から得られる解である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  ペル方程式 $$x^2-3y^2=1$$ をみたす正の整数の組 $(x,y)$ を、$x$ の小さい順に並べる。3 番目の組 $(x,y)$ を求めよ。

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  ペル方程式 $$x^2-7y^2=1$$ をみたす正の整数の組 $(x,y)$ を $x$ の小さい順に並べたとき、3 番目にくる組 $(x,y)$ を求めよ。

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  方程式 $$x^2-5y^2=1$$ を満たす正の整数の組 $(x,y)$ を、$x$ の小さい順に並べる。3 番目の組の $y$ の値を求めよ。

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の演習問題レベル）

  方程式
  $$x^2-6y^2=1$$
  を満たす正の整数の組 $(x,y)$ を、$y$ の小さい順に並べる。2 番目の組 $(x,y)$ を求めよ。

• 難易度 2（教科書の演習問題レベル）

  ペル方程式
  $$x^2-11y^2=1$$
  をみたす正の整数の組 $(x,y)$ を $x$ の小さい順に並べたとき、2 番目にくる組 $(x,y)$ を求めよ。

• 難易度 2（教科書の演習問題レベル）

  不定方程式
  $$x^2-13y^2=-1$$
  をみたす正の整数の組 $(x,y)$ を $x$ の小さい順に並べたとき、2 番目にくる組 $(x,y)$ を求めよ。

• 難易度 3（期末試験の応用レベル）

  $3n+1$ と $4n+1$ がともに平方数となるような正の整数 $n$ のうち、最小のものを求めよ。

• 難易度 3（期末試験の応用レベル）

  連続する 2 つの正の整数の積 $n(n+1)$ が、ある正の整数 $m$ を用いて $n(n+1)=6m^2$ と表されるような正の整数 $n$ を、小さい順に並べる。3 番目の $n$ を求めよ。

• 難易度 3（期末試験の応用レベル）

  正の整数 $n$ であって、$2n^2+7$ が平方数となるもののうち、$n\leqq 1000$ をみたすものすべての和を求めよ。

• 難易度 4（大学院入試の標準レベル）

  $1000$ 以下の正の整数 $n$ のうち、$7n^2+2$ が平方数（ある整数の 2 乗）となるものをすべて求めよ。

この技能の次に学べること

• √d の連分数展開とペル方程式の基本解 （大学数学 整数論）
• ペル型方程式への帰着 （大学数学 整数論）