整数論の問題

最小解: $y=1,2,3,\dots$ と順に調べると
- $y=1$: $11\cdot 1+1=12$（平方数でない）
- $y=2$: $11\cdot 4+1=45$（平方数でない）
- $y=3$: $11\cdot 9+1=100=10^2$

よって最小の正の解は $(x_1,y_1)=(10,3)$。（$x^2=11y^2+1$ より $x$ は $y$ について単調に増加するので、$y$ が最小の解が $x$ も最小の解である。）

すべての正の解: ペル方程式の一般論により、正の整数解はすべて $$x_n+y_n\sqrt{11}=(10+3\sqrt{11}{)}^n(n=1,2,3,\dots )$$ で与えられ、$n$ が大きいほど $x_n$ も大きい。

2 番目の解: $n=2$ として $$(10+3\sqrt{11}{)}^2=100+60\sqrt{11}+9\cdot 11=199+60\sqrt{11}.$$ よって $(x_2,y_2)=(199,60)$。

（検算: $199^2=39601$、$11\cdot 60^2=39600$ で、差は $1$。）

$x^2-11y^2=1$ の最小の正の解を探す。$y=1$: $x^2=12$、$y=2$: $x^2=45$ は平方数でなく、$y=3$: $x^2=100$ より $x=10$。基本解は $(10,3)$。

解は $x+y\sqrt{11}=(10+3\sqrt{11}{)}^k$ で与えられる。$k=2$: $(10+3\sqrt{11}{)}^2=100+99+60\sqrt{11}=199+60\sqrt{11}$。
よって 2 番目の解は $(x,y)=(199,60)$。

検算: $199^2=39601$、$11\cdot 60^2=39600$、差は $1$。