整数論の問題

まず最小の正の整数解（基本解）を探す。$y=1$ のとき $6y^2+1=7$ は平方数でない。$y=2$ のとき $6\cdot 4+1=25=5^2$ なので $(x,y)=(5,2)$ が基本解である。

ペル方程式 $x^2-6y^2=1$ の正の整数解はすべて
$$x_k+y_k\sqrt{6}=(5+2\sqrt{6}{)}^k(k=1,2,3,\dots )$$
で与えられ、$k$ が大きいほど $y_k$ は大きい。よって 2 番目の解は $k=2$ のときで
$$(5+2\sqrt{6}{)}^2=25+20\sqrt{6}+24=49+20\sqrt{6}.$$
したがって $(x,y)=(49,20)$。

検算: $49^2=2401$, $6\cdot 20^2=2400$ で $2401-2400=1$。

$x^2-6y^2=1$ はペル方程式である。$y=1$ のとき $x^2=7$、整数でない。$y=2$ のとき $x^2=25$、$x=5$ で最初の解 $(5,2)$ を得る（$y$ が最小の解）。

基本解 $(5,2)$ から、すべての正の解は $x_k+y_k\sqrt{6}=(5+2\sqrt{6}{)}^k$ で得られる。$k=2$ では
$(5+2\sqrt{6}{)}^2=25+24+20\sqrt{6}=49+20\sqrt{6}$、つまり $(x,y)=(49,20)$。

確かめ: $49^2-6\cdot 20^2=2401-2400=1$。

$y$ の小さい順では $(5,2)$ の次の解が $y=20$ で、$y=3,\dots ,19$ に解がないことは基本解が最小であることと、解が $(5+2\sqrt{6}{)}^k$ に限ることから従う。よって 2 番目の組は $(49,20)$。