整数論の問題

最小解を求める。 $x^2=13y^2-1$ が平方数になる最小の正の整数 $y$ を順に調べる。

• $y=1$: $13-1=12$（平方数でない）
• $y=2$: $52-1=51$（平方数でない）
• $y=3$: $117-1=116$（平方数でない）
• $y=4$: $208-1=207$（平方数でない）
• $y=5$: $325-1=324=18^2$

よって最小の正の解は $(x,y)=(18,5)$ である。$x^2=13y^2-1$ より $x$ は $y$ について単調増加なので、$x$ の順と $y$ の順は一致する。（$\sqrt{13}=[3;\overline{1,1,1,1,6}]$ の周期は $5$ で奇数であり、第 $5$ 近似分数 $\frac{18}{5}$ からも同じ解が得られる。）

すべての解の形。 $\epsilon =18+5\sqrt{13}$ とおく。$\epsilon$ は $N(a+b\sqrt{13})=a^2-13b^2=-1$ をみたす正の整数解のうち最小のものに対応する。ペル方程式の一般論により、$x^2-13y^2=\pm 1$ の正の整数解は
$$x+y\sqrt{13}={\epsilon }^k(k=1,2,3,\dots )$$
ですべて与えられる。ノルムは乗法的なので $N({\epsilon }^k)=(-1{)}^k$ である。したがって $x^2-13y^2=-1$ の正の整数解は $k$ が奇数のもの、すなわち $\epsilon ,{\epsilon }^3,{\epsilon }^5,\dots$ に対応する。これらは $k$ について単調に増加するので、2 番目の解は ${\epsilon }^3$ から得られる。

計算。
$${\epsilon }^2=(18+5\sqrt{13}{)}^2=324+325+180\sqrt{13}=649+180\sqrt{13}$$
（これは $x^2-13y^2=1$ の基本解である。）
$${\epsilon }^3=(649+180\sqrt{13})(18+5\sqrt{13})$$
$$=(649\cdot 18+180\cdot 5\cdot 13)+(649\cdot 5+180\cdot 18)\sqrt{13}$$
$$=(11682+11700)+(3245+3240)\sqrt{13}=23382+6485\sqrt{13}.$$

検算。
$$23382^2=546717924,$$
$$13\cdot 6485^2=13\cdot 42055225=546717925.$$
その差は $-1$ となり、確かに解である。

よって答えは $(x,y)=(23382,6485)$。

$x^2-13y^2=-1$ の最小の正の解を探す。$y=1,2,3,4$ では $13y^2-1=12,51,116,207$ で、どれも平方数でない。$y=5$ では $13\cdot 25-1=324=18^2$ となるので、最小解は $(x,y)=(18,5)$ である。

ペル方程式 $x^2-13y^2=-1$ のすべての正の解は、$x+y\sqrt{13}=(18+5\sqrt{13}{)}^k$（$k$ は正の奇数）で与えられる。これは $18+5\sqrt{13}$ のノルムが $-1$ であり、$k$ が偶数のときノルムが $+1$ になるためである。したがって 2 番目の解は $k=3$ のときである。

$(18+5\sqrt{13}{)}^2=324+325+180\sqrt{13}=649+180\sqrt{13}$。

これに $18+5\sqrt{13}$ をかける。
$x=649\cdot 18+180\cdot 5\cdot 13=11682+11700=23382$
$y=649\cdot 5+180\cdot 18=3245+3240=6485$

検算: $23382^2=546717924$、$13\cdot 6485^2=13\cdot 42055225=546717925$。差は $-1$ となり、方程式をみたす。

よって求める組は $(23382,6485)$ である。