整数論

整数 $x$ についての連立合同式
$$x\equiv 1(\mathrm{mod}4),x\equiv 2(\mathrm{mod}5),x\equiv 5(\mathrm{mod}7)$$
を満たす正の整数 $x$ のうち、最小のものを求めよ。

連立合同式
$$x\equiv 2(\mathrm{mod}3),x\equiv 1(\mathrm{mod}4),x\equiv 3(\mathrm{mod}5)$$
をみたす正の整数 $x$ のうち、最小のものを求めよ。

連立合同式
$$x\equiv 3(\mathrm{mod}4),x\equiv 2(\mathrm{mod}5),x\equiv 4(\mathrm{mod}7)$$
をすべてみたす正の整数 $x$ のうち、最小のものを求めよ。

正の整数 $n$ に対し、$1$ 以上 $n$ 以下の整数のうち $n$ と互いに素なものの個数を $\phi (n)$ とする（オイラー関数）。$\phi (540)$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し、$1$ 以上 $n$ 以下の整数のうち $n$ と互いに素なものの個数を $\phi (n)$ と表す（オイラー関数）。$\phi (1260)$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し、$\phi (n)$ を $1$ 以上 $n$ 以下の整数のうち $n$ と互いに素なものの個数（オイラー関数）とする。$\phi (540)$ の値を求めよ。

有理数 $\frac{61}{27}$ の正則連分数展開を
$$\frac{61}{27}=[a_0;a_1,a_2,\dots ,a_n]$$
とする。ここで $a_0$ は整数、$a_1,\dots ,a_n$ は正の整数であり、$n\geqq 1$ のとき最後の項は $a_n\geqq 2$ とする。第 $k$ 近似分数を $\frac{p_k}{q_k}=[a_0;a_1,\dots ,a_k]$（既約分数、$q_k>0$）と表すとき、$\frac{p_2}{q_2}$ を求めよ。

有理数 $\frac{172}{75}$ の正則連分数展開を
$$\frac{172}{75}=[a_0;a_1,a_2,\dots ,a_n]$$
とする。ここで $a_0$ は整数、$a_1,\dots ,a_n$ は正の整数で、$n\geqq 1$ のとき最後の項は $a_n\geqq 2$ とする。第 $k$ 近似分数を $\frac{p_k}{q_k}=[a_0;a_1,\dots ,a_k]$（既約分数、$q_k>0$）と表すとき、最後から 2 番目の近似分数 $\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}$ を既約分数で求めよ。

有理数 $\frac{67}{29}$ の正則連分数展開を
$$\frac{67}{29}=[a_0;a_1,a_2,a_3]=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3}}}$$
とする。ここで $a_0$ は整数、$a_1,a_2,a_3$ は正の整数で、$a_3\geqq 2$ とする。$k=0,1,2,3$ に対して、第 $k$ 近似分数を $\frac{p_k}{q_k}=[a_0;a_1,\dots ,a_k]$（既約分数、$q_k>0$）と定める。近似分数 $\frac{p_2}{q_2}$ を既約分数で求めよ。

ペル方程式 $$x^2-3y^2=1$$ をみたす正の整数の組 $(x,y)$ を、$x$ の小さい順に並べる。3 番目の組 $(x,y)$ を求めよ。

ペル方程式 $$x^2-7y^2=1$$ をみたす正の整数の組 $(x,y)$ を $x$ の小さい順に並べたとき、3 番目にくる組 $(x,y)$ を求めよ。

方程式 $$x^2-5y^2=1$$ を満たす正の整数の組 $(x,y)$ を、$x$ の小さい順に並べる。3 番目の組の $y$ の値を求めよ。

$5^{2026}$ を $13$ で割った余りを求めよ。

$2^{2025}$ を $11$ で割った余りを求めよ。

$2^{2024}$ を $11$ で割った余りを求めよ。

正の整数 $m$ に対し、$\phi (m)$ をオイラー関数、$\sigma (m)$ を $m$ の正の約数すべての和とする。
$$S=\sum _{d\mid 200}\phi (d)\sigma \left(\frac{200}{d}\right)$$
の値を求めよ。ただし和は $200$ の正の約数 $d$ すべてにわたってとる。

正の整数 $m$ に対し、$\phi (m)$ をオイラー関数、$\sigma (m)$ を $m$ の正の約数すべての和とする。
$$S=\sum _{d\mid 200}\phi (d)\sigma \left(\frac{200}{d}\right)$$
の値を求めよ。ただし和は $200$ の正の約数 $d$ すべてにわたってとる。

正の整数 $m$ に対し、$\phi (m)$ をオイラー関数、$\sigma (m)$ を $m$ の正の約数すべての和とする。$$S=\sum _{d\mid 200}\phi (d)\sigma \left(\frac{200}{d}\right)$$ の値を求めよ。ただし和は $200$ の正の約数 $d$ すべてにわたってとる。

$\sqrt{14}$ の正則連分数展開を $\sqrt{14}=[a_0;a_1,a_2,\dots ]$ とし、0 以上の整数 $n$ に対して第 $n$ 近似分数を
$$\frac{p_n}{q_n}=[a_0;a_1,\dots ,a_n]$$
（$p_n,q_n$ は互いに素な正の整数）とする。$n$ が 0 以上のすべての整数を動くとき、$p_n^2-14q_n^2$ のとる値をすべて求めよ。答えは集合の形で答えよ。

$\sqrt{14}$ の正則連分数展開を求め、それを用いて、ペル方程式
$$x^2-14y^2=1$$
の正の整数解 $(x,y)$ のうち $y$ が最小のもの（基本解）を求めよ。答えは組 $(x,y)$ の形で答えよ。

$\sqrt{19}$ の正則連分数展開を $\sqrt{19}=[a_0;a_1,a_2,\dots ]$ とし、0 以上の整数 $n$ に対して第 $n$ 近似分数を $\frac{p_n}{q_n}=[a_0;a_1,\dots ,a_n]$（$p_n,q_n$ は互いに素な正の整数）とする。$n$ が 0 以上の整数全体を動くとき、整数 $p_n^2-19q_n^2$ がとりうる値をすべて求めよ。

正の整数 $n$ であって、和 $1+2+3+\cdots +n$ がある正の整数 $m$ の 2 乗となるものを、小さい順に並べる。3 番目の $n$ を求めよ。

正の整数 $n$ であって、$1+2+\cdots +n$ がある正の整数 $m$ の 2 乗になるようなもの（すなわち $\frac{n(n+1)}{2}=m^2$ となるもの）を小さい順に並べる。4 番目の $n$ を求めよ。

正の整数 $n$ であって、$1+2+\cdots +n$ がある正の整数 $m$ の 2 乗 $m^2$ に等しくなるものを小さい順に並べる。4 番目の $n$ を求めよ。

$23$ と互いに素な整数 $a$ に対し、$a^k\equiv 1(\mathrm{mod}23)$ をみたす最小の正の整数 $k$ を、法 $23$ における $a$ の位数といい、${\mathrm{ord}}_{23}(a)$ と書く。${\mathrm{ord}}_{23}(2)$ を求めよ。

$29$ は素数である。$5^k\equiv 1(\mathrm{mod}29)$ をみたす最小の正の整数 $k$（法 $29$ における $5$ の位数 ${\mathrm{ord}}_{29}(5)$）を求めよ。

$41$ と互いに素な整数 $a$ に対し、$a^k\equiv 1(\mathrm{mod}41)$ をみたす最小の正の整数 $k$ を、$41$ を法とする $a$ の位数といい、${\mathrm{ord}}_{41}(a)$ と書く。${\mathrm{ord}}_{41}(3)$ を求めよ。

$p=19$ は素数である。ルジャンドル記号 $\left(\frac{10}{19}\right)$ の値を求めよ。ただし、$10=2\times 5$ と分解し、乗法性 $\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)$ とオイラーの規準 $\left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{\frac{p-1}{2}}(\mathrm{mod}p)$ を用いて計算すること。

$p=19$ は素数である。オイラーの規準と乗法性 $\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)$ を用いて、ルジャンドル記号 $$\left(\frac{10}{19}\right)$$ の値を求めよ。

$p=13$ は素数である。ルジャンドル記号 $\left(\frac{6}{13}\right)$ の値を求めよ。

正の整数を定義域とする関数 $f$ が、すべての正の整数 $n$ に対して
$$\sum _{d\mid n}f(d)=n^2$$
を満たしている（和は $n$ の正の約数 $d$ すべてにわたる）。$\mu$ をメビウス関数とするとき、$f(12)$ の値を求めよ。

正の整数全体で定義された関数 $f$ が、すべての正の整数 $n$ に対して
$$\sum _{d\mid n}f(d)=n^2$$
を満たしている。ただし、和は $n$ の正の約数 $d$ すべてにわたってとる。このとき $f(60)$ の値を求めよ。

正の整数全体で定義された関数 $f$ が、すべての正の整数 $n$ について
$$\sum _{d\mid n}f(d)=n^2$$
を満たすとする。ただし和は $n$ の正の約数 $d$ すべてにわたってとる。このとき $f(18)$ の値を求めよ。

正の整数 $m$ に対し、$m$ の正の約数の個数を $\tau (m)$ とする。
$$S=\sum _{m=1}^{30}\tau (m)$$
の値を求めよ。

正の整数 $m$ に対し、$\tau (m)$ を $m$ の正の約数の個数とする。和の順序を入れかえることにより、
$$S=\sum _{m=1}^{20}\tau (m)$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し、$\tau (n)$ を $n$ の正の約数の個数とする。また、実数 $t$ に対し、$\lfloor t\rfloor$ を $t$ 以下の最大の整数とする。
$$S=\sum _{n=1}^{20}\tau (n)$$
の値を、和の順序を入れかえて $\lfloor \rfloor$ を含む和に書き直すことで求めよ。

素数 $p=23$ を法とする原始根のうち、最小の正の整数を求めよ。ただし、$\gcd (g,23)=1$ をみたす整数 $g$ で、法 $23$ における位数が $22$ であるものを、$23$ を法とする原始根という。

素数 $p=23$ を法とする原始根のうち、最小の正の整数 $g$ を求めよ。ただし、$g$ が法 $23$ の原始根であるとは、$g$ の法 $23$ における位数が $22$ であることをいう。

素数 $p=23$ を法とする原始根（$23$ を法とする位数が $22$ である整数）のうち、$1$ 以上の最小の整数 $g$ を求めよ。

$19$ と $43$ はともに奇素数である。平方剰余の相互法則を用いて、ルジャンドル記号 $$\left(\frac{19}{43}\right)$$ の値を求めよ。

$31$ と $103$ はともに素数である。ルジャンドル記号 $$\left(\frac{31}{103}\right)$$ の値を求めよ。

$31$ と $89$ はどちらも素数である。ルジャンドル記号 $$\left(\frac{31}{89}\right)$$ の値を求めよ。

$p=107$ は素数である。合同式 $$x^2+y^2\equiv 5(\mathrm{mod}107)$$ を満たす整数の組 $(x,y)$（$x,y\in \{0,1,\dots ,106\}$）の個数を求めよ。

$p=31$ は素数である。合同式 $$x^2-5y^2\equiv 1(\mathrm{mod}31)$$ を満たす整数の組 $(x,y)$（$x,y\in \{0,1,\dots ,30\}$）の個数を求めよ。

$p=103$ は素数である。合同式 $$x^2+y^2\equiv 7(\mathrm{mod}103)$$ を満たす整数の組 $(x,y)$（$x,y\in \{0,1,2,\dots ,102\}$）の個数を求めよ。

正の整数 $d$ に対し、$\mu (d)$ をメビウス関数、$\sigma (d)$ を $d$ の正の約数すべての和とする。
$$S=\sum _{d\mid 1260}\mu (d)\sigma (d)$$
の値を求めよ。ただし和は $1260$ の正の約数 $d$ すべてにわたってとる。

方程式
$$x^2-6y^2=1$$
を満たす正の整数の組 $(x,y)$ を、$y$ の小さい順に並べる。2 番目の組 $(x,y)$ を求めよ。

正の整数 $n$ に対し、$\phi (n)$ をオイラー関数、$\tau (n)$ を $n$ の正の約数の個数とする。
$$S=\sum _{d\mid 360}\phi (d)\tau \left(\frac{360}{d}\right)$$
の値を求めよ。ただし和は $360$ の正の約数 $d$ すべてにわたる。

$p=103$ は素数である。集合 $\{2,3,5,7,11,13\}$ の要素 $a$ のうち、$a$ が法 $p$ の平方剰余であるもの、すなわち合同式 $$x^2\equiv a(\mathrm{mod}103)$$ が整数解 $x$ をもつような $a$ をすべて求めよ。

$1000$ 以下の正の整数 $n$ で、次の 3 つの合同式をすべてみたすものを考える。
$$n\equiv 3(\mathrm{mod}4),2n\equiv 5(\mathrm{mod}7),3n\equiv 2(\mathrm{mod}11)$$
このような $n$ すべての和を求めよ。

実数 $x$ の正則連分数展開が
$$x=[1;2,3,2,3,2,3,\dots ]=1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\cdots }}}}$$
であるとする。ここで $a_0=1$ のあと、部分商は $2,3$ を交互に限りなく繰り返す。$x$ の値を求めよ。

正の整数 $m$ に対し、$\tau (m)$ を $m$ の正の約数の個数とする。
$$T=\sum _{d\mid 720}\tau (d)$$
の値を求めよ。ただし和は $720$ の正の約数 $d$ すべてにわたってとる。

有理数 $\frac{457}{198}$ の正則連分数展開を
$$\frac{457}{198}=[a_0;a_1,a_2,\dots ,a_n]$$
とする。ここで $a_0$ は整数、$a_1,\dots ,a_n$ は正の整数で、$n\geqq 1$ かつ最後の部分商は $a_n\geqq 2$ とする。このとき、$\frac{457}{198}$ 自身の直前の近似分数 $[a_0;a_1,\dots ,a_{n-1}]$ を既約分数で求めよ。

ペル方程式
$$x^2-11y^2=1$$
をみたす正の整数の組 $(x,y)$ を $x$ の小さい順に並べたとき、2 番目にくる組 $(x,y)$ を求めよ。

実数 $\alpha$ の正則連分数展開を、次の手続きで定める。$x_0=\alpha$ とし、$k=0,1,2,\dots$ に対して
$$a_k=\lfloor x_k\rfloor ,x_k\ne a_k\text{ のとき }{x}_{k+1}=\frac{1}{x_k-a_k}$$
とする（$\lfloor x\rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数）。$x_k=a_k$ となったら手続きを終える。

$n$ を正の整数とし、$\alpha =\sqrt{n^2+1}$ とする。このとき、上の手続きは終わらずにすべての $k\ge 0$ に対して $x_k$ が定まり、
$$a_0=n,a_k=2n(k\ge 1)$$
となること、すなわち $\sqrt{n^2+1}=[n;\overline{2n}]$ であることを証明せよ。

正の整数 $m$ に対し、$\tau (m)$ を $m$ の正の約数の個数とする。また、メビウス関数 $\mu$ を
$$\mu (m)=\{\begin{array}{ll}1& (m=1)\\ (-1{)}^k& (m\text{ が相異なる }k\text{ 個の素数の積})\\ 0& (m\text{ がある素数の }2\text{ 乗で割り切れる})\end{array}$$
で定める。

すべての正の整数 $n$ に対して
$$\sum _{d\mid n}\mu (d{)}^2\tau \left(\frac{n}{d}\right)=\tau (n^2)$$
が成り立つことを証明せよ。ここで和は $n$ の正の約数 $d$ 全体にわたる。

ただし、素因数分解の一意性と、$m=q_1^{f_1}\cdots q_s^{f_s}$（$q_i$ は相異なる素数、$f_i$ は正の整数）のとき $\tau (m)=(f_1+1)\cdots (f_s+1)$ であることは用いてよい。

正の整数 $n$ が、正の整数 $a$ と $2$ 以上の整数 $m$ を用いて $n=a^m$ と表せるとき、$n$ を「完全べき」とよぶ（たとえば $1=1^2$, $8=2^3$, $36=6^2$ は完全べきである）。

任意の正の整数 $k$ に対して、連続する $k$ 個の正の整数 $x+1,x+2,\dots ,x+k$（$x$ は $0$ 以上の整数）で、どれも完全べきでないものが存在することを証明せよ。

ただし、素数が無限に存在すること、素数 $q$ が積 $bc$ を割り切るならば $q\mid b$ または $q\mid c$ であること、および中国剰余定理（$m_1,\dots ,m_k$ がどの 2 つも互いに素な正の整数のとき、任意の整数 $b_1,\dots ,b_k$ に対し、連立合同式 $x\equiv b_i(\mathrm{mod}{m}_i)(i=1,\dots ,k)$ は整数解をもち、解全体は $m_1{m}_2\cdots m_k$ を法としてただ 1 つの剰余類をなす）は用いてよい。

不定方程式
$$x^2-13y^2=-1$$
をみたす正の整数の組 $(x,y)$ を $x$ の小さい順に並べたとき、2 番目にくる組 $(x,y)$ を求めよ。

正の整数 $n$ に対し、$\phi (n)$ を $1$ 以上 $n$ 以下の整数のうち $n$ と互いに素なものの個数（オイラー関数）とする。$$\phi (n)=12$$ をみたす正の整数 $n$ をすべて求めよ。

正の整数 $n$ に対し、$\mu (n)$ をメビウス関数とする。
$$S=\sum _{n=1}^{300}\mu (n{)}^2$$
の値を求めよ。

有理数 $\frac{137}{95}$ の正則連分数展開を求めよ。さらに、その近似分数を用いて、不定方程式
$$137x-95y=1$$
を満たす正の整数の組 $(x,y)$ のうち、$x$ が最小のものを求めよ。答えは組 $(x,y)$ の形で答えよ。

$3n+1$ と $4n+1$ がともに平方数となるような正の整数 $n$ のうち、最小のものを求めよ。

連立合同式
$$x\equiv 5(\mathrm{mod}12),x\equiv 11(\mathrm{mod}18),x\equiv 13(\mathrm{mod}20)$$
を満たす正の整数 $x$ のうち、$1000$ 以下のものすべての和を求めよ。

連続する 2 つの正の整数の積 $n(n+1)$ が、ある正の整数 $m$ を用いて $n(n+1)=6m^2$ と表されるような正の整数 $n$ を、小さい順に並べる。3 番目の $n$ を求めよ。

正の整数 $n$ に対し $\phi (n)$ をオイラー関数とし、実数 $t$ に対し $\lfloor t\rfloor$ を $t$ 以下の最大の整数とする。
$$S=\sum _{n=1}^{2024}\phi (n)\lfloor \frac{2024}{n}\rfloor$$
の値を求めよ。

$91$ と互いに素な整数 $a$ に対し、$a^k\equiv 1(\mathrm{mod}91)$ をみたす最小の正の整数 $k$ を、法 $91$ における $a$ の位数という。$1\leqq a\leqq 90$ をみたす整数 $a$ のうち、$91$ と互いに素で、法 $91$ における位数が $12$ であるものの個数を求めよ。

$0\leqq x\leqq 9999$ をみたす整数 $x$ のうち、
$$x^3\equiv x(\mathrm{mod}10000)$$
をみたすものの個数を求めよ。

$1729=7\cdot 13\cdot 19$ である。$x^2+x+1$ が $1729$ で割り切れるような正の整数 $x$ のうち、最小のものを求めよ。

整数 $p$ と正の整数 $q$ が $1\leqq q\leqq 200$ をみたしながら動くとき、$$\left|\sqrt{7}-\frac{p}{q}\right|$$ を最小にする有理数 $\frac{p}{q}$ を、既約分数で求めよ。

$7\leqq p\leqq 200$ をみたす素数 $p$ を考える。2 つの合同式
$$x^2\equiv -6(\mathrm{mod}p),y^2\equiv 10(\mathrm{mod}p)$$
がどちらも整数解をもつ。このような素数 $p$ すべての和を求めよ。

正の整数 $n$ であって、$2n^2+7$ が平方数となるもののうち、$n\leqq 1000$ をみたすものすべての和を求めよ。

$2024=2^3\cdot 11\cdot 23$ とする。$\gcd (a,2024)=1$ をみたす整数 $a$ に対し、$a^k\equiv 1(\mathrm{mod}2024)$ をみたす最小の正の整数 $k$ を、法 $2024$ における $a$ の位数という。

$\gcd (a,2024)=1$ をみたすすべての整数 $a$ について $a^L\equiv 1(\mathrm{mod}2024)$ が成り立つような最小の正の整数を $L$ とする。また、$1\leqq a\leqq 2023$ かつ $\gcd (a,2024)=1$ をみたす整数 $a$ のうち、法 $2024$ における位数がちょうど $L$ であるものの個数を $N$ とする。

組 $(L,N)$ を求めよ。

正の整数 $n$ のうち、合同式
$$2^n\equiv n(\mathrm{mod}35)$$
をみたし、かつ $1\leqq n\leqq 420$ であるものすべての和を求めよ。

$\sqrt{31}$ の正則連分数展開を $\sqrt{31}=[a_0;a_1,a_2,\dots ]$ とし、0 以上の整数 $n$ に対して第 $n$ 近似分数を
$$\frac{p_n}{q_n}=[a_0;a_1,\dots ,a_n]$$
とする。ただし $p_n,q_n$ は互いに素な整数で $q_n>0$ とする。$n$ が 0 以上の整数全体を動くとき、整数 $p_n^2-31q_n^2$ がとる値全体の集合を求めよ。

$p=2027$ は素数である。合同式
$$x^2+3y^2\equiv 5(\mathrm{mod}p)$$
を満たす組 $(x,y)$（$x,y\in \{0,1,\dots ,p-1\}$）の個数を求めよ。

$1001=7\cdot 11\cdot 13$ とする。$1$ 以上 $1000$ 以下の整数 $a$ で $\gcd (a,1001)=1$ を満たすもののうち、$1001$ を法とする位数がちょうど $12$ であるもの（すなわち $a^{12}\equiv 1(\mathrm{mod}1001)$ かつ $1\le k<12$ なる整数 $k$ に対して $a^k\not\equiv 1(\mathrm{mod}1001)$）の個数を求めよ。

$\sqrt{43}$ の正則連分数展開を求め、それを用いて、ペル方程式
$$x^2-43y^2=1$$
の正の整数解 $(x,y)$ のうち $y$ が最小のものを求めよ。答えは組 $(x,y)$ の形で答えよ。

$1000$ 以下の正の整数 $n$ のうち、$7n^2+2$ が平方数（ある整数の 2 乗）となるものをすべて求めよ。

$p=2027$ は素数である。$1\leqq n\leqq 2025$ をみたす整数 $n$ のうち、$n$ が法 $p$ の平方剰余であり、かつ $n+1$ が法 $p$ の平方非剰余であるものの個数を求めよ。

$N=12096=2^6\cdot 3^3\cdot 7$ とする。$N$ と互いに素な整数 $a$ に対し、$a^k\equiv 1(\mathrm{mod}N)$ をみたす最小の正の整数 $k$ を法 $N$ における $a$ の位数という。$N$ と互いに素な整数の法 $N$ における位数としてとりうる値のうち最大のものを $L$ とする。$1\leqq a\leqq N-1$ をみたし $N$ と互いに素な整数 $a$ のうち、法 $N$ における位数がちょうど $L$ であるものの個数を求めよ。

$n=360$ とする。
$$S=\sum _{\begin{array}{c}1\leqq k\leqq n\\ \gcd (k,n)=1\end{array}}\gcd (k-1,n)$$
の値を求めよ。ただし和は $1\leqq k\leqq 360$ かつ $360$ と互いに素な整数 $k$ すべてにわたってとり、$\gcd (0,n)=n$ とする。

$p$ を奇素数とする。整数 $a$ に対し、$\left(\frac{a}{p}\right)$ はルジャンドル記号を表す（$p\mid a$ のときは $\left(\frac{a}{p}\right)=0$ と定める）。

$1\le n\le p-3$ を満たす整数 $n$ のうち、$n$ と $n+2$ がともに $p$ を法とする平方剰余であるものの個数を $N$ とする（$p=3$ のときは $N=0$ である）。このとき
$$N=\frac{1}{4}\left(p-5-2\left(\frac{-1}{p}\right)-\left(\frac{2}{p}\right)-\left(\frac{-2}{p}\right)\right)$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、ルジャンドル記号の乗法性 $\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)$、$a\equiv b(\mathrm{mod}p)$ ならば $\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right)$ であること、および $1,2,\dots ,p-1$ のうち平方剰余と平方非剰余がちょうど $\frac{p-1}{2}$ 個ずつあることは用いてよい。

$p$ を奇素数とし、$d$ を $p-1$ の正の約数とする。$p$ と互いに素な整数 $a$ について、$a^t\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ を満たす最小の正の整数 $t$ を $a$ の $p$ を法とする位数といい、位数が $p-1$ である $a$ を $p$ を法とする原始根という。

$1\le a\le p-1$ を満たす整数 $a$ のうち $a^d\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ を満たすもの全体の積を $Q_d$ とする。このとき
$$Q_d\equiv (-1{)}^{d+1}(\mathrm{mod}p)$$
であることを証明せよ。

ただし、$p$ を法とする原始根が存在すること、および「$a$ の位数を $e$ とするとき、正の整数 $t$ について $a^t\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ となるのは $e\mid t$ のときであり、かつそのときに限る」ことは用いてよい。