整数論の問題

手順 1：素因数分解する。
$$540=2^2\cdot 3^3\cdot 5$$
なので、$540$ を割り切る素数は $2,3,5$ の $3$ つです。

手順 2：公式に当てはめる。
$\phi (n)=n{\prod }_{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right)$ より、
$$\phi (540)=540\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)=540\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}.$$

手順 3：計算する。
$$540\cdot \frac{1}{2}=270,270\cdot \frac{2}{3}=180,180\cdot \frac{4}{5}=144.$$

検算（乗法性を使う方法）： $4,27,5$ はどの 2 つも互いに素なので、$\phi (540)=\phi (4)\phi (27)\phi (5)$ です。素数 $p$ と正の整数 $k$ について $\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$ なので、
$$\phi (4)=4-2=2,\phi (27)=27-9=18,\phi (5)=5-1=4$$
となり、$\phi (540)=2\cdot 18\cdot 4=144$ です。手順 3 の結果と一致します。

よって、$\phi (540)=144$ です。

$540=2^2\cdot 3^3\cdot 5$ と素因数分解できる（$4\cdot 27=108$, $108\cdot 5=540$）。

オイラー関数は互いに素な数について積に分解できるので、
$\phi (540)=\phi (2^2)\phi (3^3)\phi (5)$。

素数 $p$ に対して $\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$ であるから、
- $\phi (2^2)=4-2=2$
- $\phi (3^3)=27-9=18$
- $\phi (5)=4$

よって $\phi (540)=2\cdot 18\cdot 4=144$。

検算：公式 $\phi (n)=n\prod (1-1/p)$ より $540\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}=540\cdot \frac{8}{30}=144$。一致する。