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整数論の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学整数論

正の整数 $n$ に対し、 $1$ 以上 $n$ 以下の整数のうち $n$ と互いに素なものの個数を $φ (n)$ とする（オイラー関数）。 $φ (540)$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

オイラー関数の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（26 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

オイラー関数の公式 $φ (n) = n \prod_{p ∣ n} (1 - \frac{1}{p})$ を使います。まず $540$ を素因数分解しましょう。

ヒント 2

$540 = 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5$ なので、 $540$ を割り切る素数は $2, 3, 5$ です。これらを公式の $p$ に代入します。

ヒント 3

$φ (540) = 540 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}$ を順に計算します（ $540 \cdot \frac{1}{2} = 270$ です）。

答えと解説

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144

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解説を読む

手順 1：素因数分解する。
$540 = 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5$
なので、 $540$ を割り切る素数は $2, 3, 5$ の $3$ つである。

手順 2：公式に代入する。
オイラー関数の公式
$φ (n) = n p ∣ n \prod (1 - \frac{1}{p})$
の積は、 $n$ を割り切る素数 $p$ すべてについてとる。 $p = 2, 3, 5$ を代入すると
$φ (540) = 540 (1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{3}) (1 - \frac{1}{5}) = 540 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} .$

手順 3：計算する。
$540 \cdot \frac{1}{2} = 270, 270 \cdot \frac{2}{3} = 180, 180 \cdot \frac{4}{5} = 144.$

検算（乗法性を使う）： $4, 27, 5$ はどの $2$ つも互いに素なので、 $φ (540) = φ (4) φ (27) φ (5)$ が成り立つ。素数 $p$ の累乗については $φ (p^{k}) = p^{k} - p^{k - 1}$ なので、 $φ (4) = 4 - 2 = 2$ 、 $φ (27) = 27 - 9 = 18$ 、 $φ (5) = 5 - 1 = 4$ である。よって
$φ (540) = 2 \cdot 18 \cdot 4 = 144$
となり、手順 3 の結果と一致する。

したがって $φ (540) = 144$ である。

別解

$540 = 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5$ と素因数分解できる（ $4 \cdot 27 = 108$ 、 $108 \cdot 5 = 540$ ）。
$φ (n) = n \prod_{p ∣ n} (1 - \frac{1}{p})$ より
$φ (540) = 540 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = 540 \cdot \frac{8}{30} = 144$ 。
検算： $φ (4) = 2$ 、 $φ (27) = 18$ 、 $φ (5) = 4$ で、互いに素な数の積なので $2 \cdot 18 \cdot 4 = 144$ 。一致する。

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