整数論の問題

手順1：素因数分解する。
$$1260=2\times 630=2^2\times 315=2^2\times 3^2\times 35=2^2\times 3^2\times 5\times 7$$
よって、$1260$ を割り切る素数は $2,3,5,7$ の $4$ つである。

手順2：公式 $\phi (n)=n{\prod }_{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right)$ に代入する。
積は $n$ を割り切る素数 $p=2,3,5,7$ についてとる（指数は使わない）。
$$\phi (1260)=1260\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\left(1-\frac{1}{7}\right)=1260\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{4}{5}\times \frac{6}{7}$$

手順3：順に計算する。
$$1260\times \frac{1}{2}=630,630\times \frac{2}{3}=420,420\times \frac{4}{5}=336,336\times \frac{6}{7}=288$$

確かめ（乗法性を使う方法）： $4,9,5,7$ はどの $2$ つも互いに素なので、$\phi (mn)=\phi (m)\phi (n)$ をくり返し使えて
$$\phi (1260)=\phi (4)\phi (9)\phi (5)\phi (7)$$
ここで素数 $p$ と正の整数 $k$ について $\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$ だから、$\phi (4)=4-2=2$、$\phi (9)=9-3=6$、$\phi (5)=4$、$\phi (7)=6$。よって
$$\phi (1260)=2\times 6\times 4\times 6=288$$
となり、手順3の結果と一致する。

答え：$288$

$1260=2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$ と素因数分解できる（$4\cdot 9=36$, $36\cdot 5=180$, $180\cdot 7=1260$）。
$\phi (n)=n{\prod }_{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right)$ より
$\phi (1260)=1260\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{7}$。
$1260\cdot \frac{1}{2}=630$、$630\cdot \frac{2}{3}=420$、$420\cdot \frac{4}{5}=336$、$336\cdot \frac{6}{7}=288$。
検算: 乗法性より $\phi (4)\phi (9)\phi (5)\phi (7)=2\cdot 6\cdot 4\cdot 6=288$。一致する。