整数論の問題

方針 $\tau (m)$ を「約数にわたる 1 の和」と見て、和の順序を入れかえます。以下、実数 $t$ に対し $t$ 以下の最大の整数を $\lfloor t\rfloor$ で表します。

手順 1：約数にわたる和で書く

$\tau (m)$ は $m$ の正の約数 $d$ の個数なので
$$\tau (m)=\sum _{d\mid m}1$$
と書けます。よって
$$S=\sum _{m=1}^{30}\sum _{d\mid m}1$$
です。これは「$d\mid m$ かつ $1\le m\le 30$ を満たす正の整数の組 $(d,m)$ の個数」を数えています。

手順 2：和の順序を入れかえる

同じ組を、先に $d$ を固定して数えます。$d$ を固定すると、$m$ は $1$ 以上 $30$ 以下の $d$ の倍数で、その個数は $\lfloor \frac{30}{d}\rfloor$ 個です。$d$ は $1$ から $30$ まで動くので
$$S=\sum _{d=1}^{30}\lfloor \frac{30}{d}\rfloor$$
となります。

手順 3：計算する

$\lfloor \frac{30}{d}\rfloor$ の値は次のとおりです。
- $d=1,2,3,4,5$：$30,15,10,7,6$（和 $68$）
- $d=6,7$：$5,4$（和 $9$）
- $d=8,9,10$：いずれも $3$（和 $9$）
- $d=11\sim 15$：いずれも $2$（5 個で和 $10$）
- $d=16\sim 30$：いずれも $1$（15 個で和 $15$）

したがって
$$S=68+9+9+10+15=111$$
です。

（検算：$\tau (1),\dots ,\tau (10)$ の和は $27$、$\tau (11),\dots ,\tau (20)$ の和は $39$、$\tau (21),\dots ,\tau (30)$ の和は $45$ で、合計 $27+39+45=111$ となり一致します。）

答え：$111$

${\sum }_{m=1}^{30}\tau (m)$ は、$k$ の倍数が $1$ から $30$ の中に何個あるかを $k$ ごとに数えて足したものに等しい。したがって $S={\sum }_{k=1}^{30}\lfloor 30/k\rfloor$ である。

各 $k$ の値は次のとおり。
- $k=1,\dots ,5$: $30,15,10,7,6$（合計 68）
- $k=6,7$: $5,4$
- $k=8,9,10$: それぞれ $3$
- $k=11,\dots ,15$: それぞれ $2$
- $k=16,\dots ,30$: それぞれ $1$（15 個）

合計は $68+5+4+9+10+15=111$。

検算として、対称性を使った公式 $S=2{\sum }_{k\le 5}\lfloor 30/k\rfloor -5^2$ を用いる。$\lfloor \sqrt{30}\rfloor =5$ なので $S=2\cdot 68-25=111$ となり、一致する。