約数和と床関数の和の入れかえ

正の整数 $m$ に対し、$m$ の正の約数の個数を $\tau (m)$ とする。
$$S=\sum _{m=1}^{30}\tau (m)$$
の値を求めよ。

正の整数 $m$ に対し、$\tau (m)$ を $m$ の正の約数の個数とする。和の順序を入れかえることにより、
$$S=\sum _{m=1}^{20}\tau (m)$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し、$\tau (n)$ を $n$ の正の約数の個数とする。また、実数 $t$ に対し、$\lfloor t\rfloor$ を $t$ 以下の最大の整数とする。
$$S=\sum _{n=1}^{20}\tau (n)$$
の値を、和の順序を入れかえて $\lfloor \rfloor$ を含む和に書き直すことで求めよ。

正の整数 $n$ に対し、デデキントのプサイ関数を
$$\psi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1+\frac{1}{p}\right)$$
で定める（積は $n$ を割り切る素数 $p$ 全体にわたり、$\psi (1)=1$ とする）。$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x^2}\sum _{n\le x}\psi (n)$$
の値を求めよ。ただし $x$ は正の実数で、和は $x$ 以下の正の整数 $n$ 全体にわたる。

正の整数 $n$ に対し、$\sigma (n)$ を $n$ の正の約数の総和とする。実数 $x\ge 1$ に対して
$$S(x)=\sum _{\begin{array}{c}1\le n\le x\\ n\text{は奇数}\end{array}}\frac{\sigma (n)}{n}$$
とおく。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{S(x)}{x}$$
は存在する。その値を求めよ。ただし $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ を用いてよい。

正の整数 $n$ を素因数分解して $n={\prod }_p{p}^{k_p}$ と書いたとき、$\Omega (n)={\sum }_p{k}_p$（重複を込めた素因数の個数。$\Omega (1)=0$）とし、リウヴィル関数を $\lambda (n)=(-1{)}^{\Omega (n)}$ で定める。実数 $t$ に対し $\lfloor t\rfloor$ は $t$ 以下の最大の整数を表す。

$N\ge 2$ を満たす任意の整数 $N$ に対して
$$\left|\sum _{n=1}^N\frac{\lambda (n)}{n}-\frac{\lfloor \sqrt{N}\rfloor }{N}\right|\le 1-\frac{2}{N}$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、素因数分解の一意性は用いてよい。

正の整数 $n$ に対し、$\mu (n)$ をメビウス関数とする。
$$S=\sum _{n=1}^{300}\mu (n{)}^2$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対して、$\mu (n)$ をメビウス関数、$\sigma (n)$ を $n$ の正の約数の総和、$\phi (n)$ をオイラー関数とする。正の実数 $x$ に対して
$$S(x)=\sum _{1\le n\le x}\mu (n{)}^2\frac{\sigma (n)}{\phi (n)}$$
と定める（和は $x$ 以下の正の整数 $n$ 全体にわたる）。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{S(x)}{x}$$
は存在する。その値を求めよ。必要ならば $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。

正の整数 $n$ に対し $\phi (n)$ をオイラー関数とし、実数 $t$ に対し $\lfloor t\rfloor$ を $t$ 以下の最大の整数とする。
$$S=\sum _{n=1}^{2024}\phi (n)\lfloor \frac{2024}{n}\rfloor$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対して、$\sigma (n)$ を $n$ の正の約数の総和とする。正の実数 $x$ に対して
$$S(x)=\sum _{\begin{array}{c}1\le n\le x\\ \gcd (n,6)=1\end{array}}\sigma (n)$$
とおく。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{S(x)}{x^2}$$
の値を求めよ。ただし $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ は用いてよい。

正の整数 $n$ に対して、$\omega (n)$ を $n$ の相異なる素因数の個数とする（$\omega (1)=0$）。実数 $x\ge 2$ に対して
$$A(x)=\sum _{1\le n\le x}\frac{2^{\omega (n)}}{n}$$
とおく。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{A(x)}{(\log x{)}^2}$$
の値を求めよ。ただし $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$、および $x$ 以下の正の整数のうち平方因子をもたないもの（$1$ を含む）の個数 $Q(x)$ が $Q(x)=\frac{6}{{\pi }^2}x+O(\sqrt{x})$ を満たすことは用いてよい。

$\mu$ をメビウス関数（$\mu (1)=1$、$n$ が相異なる $r$ 個の素数の積なら $\mu (n)=(-1{)}^r$、$n$ がある素数の 2 乗で割り切れるなら $\mu (n)=0$）、$\phi$ をオイラー関数（$1\le m\le n$ かつ $\gcd (m,n)=1$ を満たす整数 $m$ の個数）とする。$\log$ は自然対数とする。

任意の実数 $x\ge 2$ に対して
$$\left|\sum _{1\le n\le x}\frac{\phi (n)}{n}-\frac{6}{{\pi }^2}x\right|\le 6\log x$$
が成り立つことを証明せよ。ただし ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ と、絶対収束する級数の積の展開・並べ替えは用いてよい。

正の整数 $n$ に対し、$\mu (n)$ をメビウス関数、$\sigma (n)$ を $n$ の正の約数の総和、$\phi (n)$ をオイラーの関数とする。実数 $x\ge 1$ に対して
$$S(x)=\sum _{1\le n\le x}\mu (n{)}^2\frac{\sigma (n)}{\phi (n)}$$
と定める。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{S(x)}{x}$$
は存在する。その値を求めよ。ただし $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ は用いてよい。